v23
圆轨道3上运行时，引力刚好等于向心力，即F′＝m，所以v2′＜v3。由以上可知，速率
r从大到小排列为：v2＞v1＞v3＞v2′。 答案 B
[即 学 即 练]
探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比( ) A.轨道半径变小 C.线速度变小
B.向心加速度变小 D.角速度变小
Mm4π2r解析 由G2＝m2知T＝2π
rTr3Mm，变轨后T减小，则r减小，故选项A正确；由G2＝GMrGM，r减小，v变大，故选项CrMmv2
man知r减小，an变大，故选项B错误；由G2＝m知v＝
rr2π
错误；由ω＝知T减小，ω变大，故选项D错误。
T答案 A
[典 例 精 析]
【例4】 两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其连线上某一点O为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图3所示。已知双星的质量分别为m1和m2，它们之间的距离为L，求双星的运行轨道半径r1和
r2及运行周期T。
图3
解析 双星间的引力提供了各自做圆周运动的向心力 对m1：对m2：
Gm1m22
2＝m1ωr1， LGm1m22
2＝m2r2ω，且r1＋r2＝L， LLm2Lm1
，r2＝。 m1＋m2m1＋m2
解得r1＝
2
m1m24πLm2
由G2＝m1r12及r1＝得
LTm1＋m2
5
周期T＝
4πL
G（m1＋m2）
4πL
G（m1＋m2）
23
23
Lm2Lm1
答案
m1＋m2m1＋m2
1.如图4所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径)。下列说法中正确的是( )
图4
A.a、b的线速度大小之比是2∶1 B.a、b的周期之比是1∶22 C.a、b的角速度大小之比是36∶4 D.a、b的向心加速度大小之比是3∶2
解析 两卫星均做匀速圆周运动，F万＝F向，向心力选不同的表达形式分别分析，如下表：
选项 A B C D 答案 C
2.地球同步卫星离地心的距离为r，运行速度为v1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a2，地球的第一宇宙速度为v2，半径为R，则下列比例关系中正确的是( ) A.＝ C.＝ 内容指向、联系分析 结论 3 22 3错误 错误 正确 错误 GMmv2v1由2＝m得＝rrv2r2＝r13R＝2RGMm2π2T1由2＝mr()得＝rTT2GMmω12由2＝mrω得＝rω2r3213＝r23r3362 3＝r14GMma1r292由2＝ma得＝2＝ ra2r14a1ra2Rv1rv2RB.＝() D.＝()
a1a2v1v2
rRRr2
2
解析 设地球质量为M，同步卫星的质量为m1，在地球表面绕地球做匀速圆周运动的物体的质量为m2，根据向心加速度和角速度的关系有a1＝ω1r，a2＝ω2R，又ω1＝ω2，故＝，
6
2
2
a1ra2R选项A正确，B错误；由万有引力定律和牛顿第
Mm1v2Mm2v2v112
二定律得G2＝m1，G2＝m2，解得＝
rrRRv2
答案 A
R，选项C、D错误。 r3.如图5所示，a为地球赤道上的物体，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，c为地球同步卫星。关于a、b、c做匀速圆周运动的说法中正确的是( )
图5
A.地球对b、c两星的万有引力提供了向心力，因此只有a受重力，b、c两星不受重力 B.周期关系为Tc>Tb>Ta C.线速度的大小关系为va
4.如图6所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2，下列说法中正确的是( )
图6
A.m1、m2做圆周运动的线速度之比为3∶2 B.m1、m2做圆周运动的角速度之比为3∶2 2
C.m1做圆周运动的半径为L
52
D.m2做圆周运动的半径为L
5
解析 设双星m1、m2距转动中心O的距离分别为r1、r2，双星绕O点转动的角速度为ω，根据万有引力定律和牛顿第二定律得
Gm1m222
2＝m1r1ω＝m2r2ω，又r1＋r2＝L，m1∶m2＝3∶2 L7
23
所以可解得r1＝L，r2＝L，
55
m1、m2运动的线速度分别为v1＝r1ω，v2＝r2ω，
故v1∶v2＝r1∶r2＝2∶3，综上所述，选项C正确。 答案 C
1.关于近地卫星、同步卫星、赤道上的物体，以下说法正确的是( ) A.都是万有引力等于向心力
B.赤道上的物体和同步卫星的周期、线速度、角速度都相等 C.赤道上的物体和近地卫星的轨道半径相同但线速度、周期不同 D.同步卫星的周期小于近地卫星的周期
解析 赤道上的物体是由万有引力的一个分力提供向心力，A项错误；赤道上的物体和同步卫星有相同周期和角速度，但线速度不同，B项错误；同步卫星和近地卫星有相同的中心天
GMmv24π2
体，根据2＝m＝m2r得v＝rrTGM，T＝2πrr3，由于r同>r近，故v同 2.设地球半径为R，a为静止在地球赤道上的一个物体，b为一颗近地绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，c为地球的一颗同步卫星，其轨道半径为r。下列说法中正确的是( ) A.a与c的线速度大小之比为B.a与c的线速度大小之比为C.b与c的周期之比为D.b与c的周期之比 r RR rr RR rRrRr解析 物体a与同步卫星c角速度相等，由v＝rω可得，二者线速度之比为，选项A、B均错误；而b、c均为卫星，由T＝2π r3 可得，二者周期之比为 GMRrR，选项C错误，D正确。 r答案 D 8
