【优化设计】2015-2016学年高中数学 3.1回归分析的基本思想及其初步
应用课后训练 新人教A版选修2-3
A组
1.为了考察两个变量x和y之间的线性相关性,甲、乙两位同学各自独立地做了100次和150次试验,并且利用最小二乘法,求得回归直线分别为l1和l2.已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s,对变量y的观测数据的平均值都是t,则下列说法正确的是( ) A.l1和l2有交点(s,t)
B.l1与l2相交,但交点不一定是(s,t) C.l1与l2必定平行 D.l1与l2必定重合
解析:都过样本中心点(s,t),但斜率不确定. 答案:A
2.对具有线性相关关系的变量x,y有一组观测数据(xi,yi)(i=1,2,…,8),其回归直线方程为x+,且
x1+x2+…+x8=2(y1+y2+…+y8)=6,则实数等于( )
A. C.
B. D.
由于回归直线方程x+过样本点(),则,解得. 答案:B
3.下列说法中表述恰当的个数为( )
解析:由x1+x2+…+x8=2(y1+y2+…+y8)=6,得.
①相关指数R2可以刻画回归模型的拟合效果,R2越接近于1,说明模型的拟合效果越好;
②在线性回归模型中,R2表示解释变量对于预报变量的贡献率,R2越接近于1,表示解释变量和预报
变量的线性相关关系越强;
③若残差图中个别点的残差比较大,则应确认在采集样本点的过程中是否有人为的错误或模型是否
恰当. A.0 答案:D
4.设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71,下列结论中不正确的是( ) A.y与x具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心()
C.若该大学某女生身高增加1 cm,则其体重约增加0.85 kg D.若该大学某女生身高为170 cm,则可断定其体重必为58.79 kg
解析:由回归方程为=0.85x-85.71知y随x的增大而增大,所以y与x具有正的线性相关关系;由最小二乘法建立回归方程的过程知x+x+),所以回归直线过样本点的中心();利用回归方程可以估计总体,所以D不正确. 答案:D
B.1
C.2
D.3
解析:由回归分析的相关概念知①②③都正确.
5.已知x,y的取值如下表:
x y 0 2.2 1 4.3
3 4.8 4 6.7 若x,y具有线性相关关系,且回归方程为=0.95x+,则等于( ) A.0.325 答案:B
6.在某学生的4次模拟考试中,其英语作文的减分情况如下表:
考试次数x 所减分数y 1 4.5
若所减分数y与模拟考试次数x之间有较好的线性相关关系,则其线性回归方程为( ) A.=0.7x+5.25 C.=-0.7x+6.25
B.=-0.6x+5.25 D.=-0.7x+5.25
2 4 3 3 4 2.5 B.2.6
C.2.2
D.0
解析:由已知得=2,=4.5,而回归直线过点(),则4.5=0.95×2+=2.6.
解析:由题意可知,所减分数y与模拟考试次数x之间的相关关系为负相关,所以排除A.
考试次数的平均数为(1+2+3+4)=2.5, 所减分数的平均数为(4.5+4+3+2.5)=3.5,
即回归直线应该过点(2.5,3.5),代入选项验证可知直线y=-0.7x+5.25成立,故选D. 答案:D
7.在研究两个变量的相关关系时,观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y=e解析:由z=ln y,=0.25x-2.58,
得ln =0.25x-2.58,
bx+a的周围,令
z=ln y,求得回归直线方程为=0.25x-2.58,则该模型的回归方程为 .
∴=e0.25x-2.58.
故该模型的回归方程为=e答案:=e
0.25x-2.58
0.25x-2.58
.
b8.将形如y=ax+c(b≠0)的函数转化成线性函数的方法是:令 ,则得到方程 ,其函数图象是一条直线. 答案:t=x y=at+c
9.某服装店经营某种服装,在某周内纯获利y(单位:元)与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据如下表:
bx 3 y 66 4 69 5 73 6 81
7 89 8 90 9 91
(1)求样本中心点; (2)画出散点图;
(3)求纯获利y与每天销售件数x之间的回归方程. 解:(1)=6,≈79.86,即样本中心点为(6,79.86).
(2)散点图如图所示.
(3)因为≈4.75,
≈51.36,所以=4.75x+51.36.
10.为了研究某种细菌繁殖的个数随时间x变化的情况,收集如下数据:
天数x 繁殖个数y 1 2 6 12
(1)用天数作解释变量,繁殖个数作预报变量,作出这些数据对应的散点图; (2)观察散点图是否可用曲线y=c1拟合,描述解释变量与预报变量之间的关系. 解:(1)作出散点图,如图所示.
3 25 4 49 5 95 6 190
(2)由散点图可以看出散点图可用曲线y=c1拟合,于是令z=ln y,则数据转化为
x 1 z 1.79 2 2.48 3 3.22
4 3.89 5 4.55 6 5.25 由计算得=0.69x+1.115, 则有=e
0.69x+1.115
.
B组
1.给出关于x,y的下列数据,则建立的函数模型与所给数据符合较好的是( )
x 1 2 y 2 2.69 3 4 3 3.38 5 3.6 6 3.8
7 8 4 4.08 9 4.2 10 4.3
A.y=2+x C.y=2 答案:D
B.y=2e D.y=2+ln x
x解析:画出散点图(图略),并代入数据检验可知选D. 2.给出关于x,y的下列数据:
x 0.1 0.2 0.3 0.5 1 2 y 20 9 6 4 2 0.94
则x,y满足的函数模型为 .
3 0.65 4 0.51 5 0.45 解析:画出散点图(图略),图形形如y=的图象,经检验知b≈2. 答案:y=
3.在对于变量y与x的10组统计数据的回归模型中,R=0.95,又知残差平方和为120.53,则(yi-)的值为 .
解析:依题意有0.95=1-,所以=2 410.6. 答案:2 410.6
4.面对竞争日益激烈的消费市场,众多商家不断扩大自己的销售市场,以降低生产成本.某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量(单位:千箱)与单位成本(单位:元)的资料进行线性回归分析,结果如下:
2
2
=71,=79,xiyi=1 481.
则销量每增加1 000箱,单位成本约下降 元. 解析:由题意知≈-1.818 2,
≈71-(-1.818 2)×≈77.36,=-1.818 2x+77.36,所以销量每增加1千箱,单位成本约下降1.818 2元. 答案:1.818 2
5.某电脑公司有6名产品推销员,其工作年限与年推销金额数据如下表:
推销员编号 1 2 3 4 5 工作年限x/年 3 5 6 7 9 年推销金额y/万元
(1)求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程;
2 3 3 4 5 (2)若第6名推销员的工作年限为11年,试估计他的年推销金额. 解:(1)设所求的线性回归方程为x+,
则=0.5,
=0.4.
