1、在竖直平面内作圆周运动的临界问题
⑴如图1、图2所示，没有物体支承的小球，在竖直平面作圆周运动过最高点的情况
v v R 绳 R R 杆 O v0
图 1
图 2
图 3
①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用v临界＝Rg
②能过最高点的条件：v≥Rg ，当v＞Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力。
③不能过最高点的条件：v＜v临界（实际上球没到最高点时就脱离了轨道）。 ⑵如图3所示情形，小球与轻质杆相连。杆与绳不同，它既能产生拉力，也能产生压力
①能过最高点v临界＝0，此时支持力N＝mg
②当0＜v＜Rg 时，N为支持力，有0＜N＜mg，且N随v的增大而减小 ③当v＝Rg 时，N＝0
④当v＞Rg ，N为拉力，有N＞0，N随v的增大而增大
例1 如图4所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它做圆周运动。图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球作用力可能是 （ ）
A、a处为拉力，b处为拉力 B、a处为拉力，b处为推力 C、a处为推力，b处为拉力 D、a处为推力，b处为推力
b m A A 30° O L B O 45° a C
图 4
图 5
图 6
例2 长度为L＝0.5m的轻质细杆OA，A端有一质量为m＝3.0kg的小球，如图5所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0m／s，g取10m／s2，则此时细杆OA受到 （ ）
A、6.0N的拉力 B、6.0N的压力 C、24N的拉力
D、24N的压力
例3 （可以由学生板演）长L＝0.5m，质量可以忽略的的杆，其下端固定于O点，上端连接着一个质量m＝2kg的小球A，A绕O点做圆周运动（同图5），在A通过最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力：
M 2、在水平面内作圆周运动的临界问题
r o 例4 如图7所示，细绳一端系着质量M＝0.6kg的物体，静止在水平肌，另一端通过光
滑的小孔吊着质量m＝0.3kg的物体，M的
m 中与圆孔距离为0.2m，并知M和水平面的图 7 最大静摩擦力为2N。现使此平面绕中心轴线
转动，问角速度ω在什么范围m会处于静止状态？（g＝10m／s2）
如图所示，竖直放置的光滑圆环，半径为R，要使质量为m小球沿环内侧做完整的圆周运动(如过山车)，那么，小球在最低点的速度V0至少为多大?
例5 如图所示，被长L的轻杆连接的小球A能绕固定点O在竖直平面内作圆周运动，O点竖直高度为h，如杆受到的拉力等于小球所受重力的5倍时，就会断裂，则当小球运动的角速度为多大时，杆恰好断裂?小球飞出后，落地点与O点的水平距离是多少?
质点(小球)在光滑、竖直面内的圆管中作圆周运动(圆管截面半径r远小于球的圆周运动的半径R)，如图所示．小球达到最高点时对管壁的压力有三种情况： (1)刚好对管壁无压力，此时重力为向心力，临界速度为v?Rg．
(2)当v?Rg时，对下管壁有压力，此时N?mg?mv2R，故0?N?mg。
(3)当v?Rg时，对上管壁有压力，此时N?mv2R?mg。
m A L O
3、巩固练习
1、汽车通过拱桥颗顶点的速度为10 m／s时，车对桥的压力为车重的3
4 。如
果使汽车驶至桥顶时对桥恰无压力，则汽车的速度为 （ ）
A、15 m／s B、20 m／s C、25 m／s D、30m／s 1.如图所示，物体与圆筒壁的动摩擦因数为?，圆筒的半径为R，若要物体不滑下，圆筒的角速度至少为：
.
?g B.
?g C.
g D.g
RR?R2.长度为L＝0.5m的轻质细杆OA，A端有一质量为m＝3.0kg的小球，如图所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0m／s，g取10m／s2，则此时细杆OA受到 （ ） A. 6.0N的拉力 B. 6.0N的压力
C. 24N的拉力 D. 24N的压力
3．如图所示，小球在光华圆环内滚动，且刚好通过最高点，则求在最低点的速率为：（ ） A. 4gr B. 2gr C. 2gr D.
5gr
4.长为L的细绳，一端系一质量为m的小球,另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，现给小球一水平初速度v0，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好过最高点，则下列说法中正确的是：（ ）
A.小球过最高点时速度为零 B.小球开始运动时绳对小球的拉力为mv2/r C.小球过最高点时绳对小的拉力mg D.小球过最高点时速度大小为gL 5．如图所示，长为L的轻杆一端固定一个小球，另一端固定在光滑水平轴上，使
小球在竖直平面内做圆周运动，关于小球在过最高点的速度?,下列叙述中正确的是：（ ） A.?的极小值为gL
B. ?由零逐渐增大，向心力也逐渐增大
C.当?由
gL值逐渐增大时，杆对小球的弹力也逐渐增大
D.当?由gL值逐渐减小时，杆对小球的弹力也逐渐增大
A
6.半径为 R 的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体，如图所示。今给小物体一个水平初速度v0?Rg，则小物体将（ ）
A.沿球面下滑至 M 点
B.先沿球面下滑至某点Ｎ，然后便离开斜面做斜下抛运动 Ｃ.按半径大于 R 的新的圆弧轨道做圆周运动 D.立即离开半圆球做平抛运动
7．如图所示，质量为m的物体随水平传送带一起匀速运动,A为传送带的终端皮带轮，皮带轮半径为r，要使物体通过终端时，能水平抛出，皮带轮的转速至少为：（ ）
A.
1g2?r B.gr C.gr D.gr2? 8．如图，质量为0.5kg的杯子里盛有1kg的水，用绳子系住水杯在竖直平面内做“水
流星”表演，转动半径为1m，水杯通过最高点的速度为4m/s，求： (1)在最高点时，绳的拉力？ (2)在最高点时水对杯底的压力？
9.如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。物体和转盘间最大静摩擦力是其
下压力的μ倍。求： ⑴当转盘角速度ωμg1＝2r 时，细绳的拉力T1。 r ⑵当转盘角速度ω3μgo 2＝
2r
时，细绳的拉力T2。
ω
10．沿半径为R的半球型碗底的光滑内表面，质量为m的小球正以角速度ω，在
一水平面内作匀速圆周运动，试求此时小球离碗底的高度。
R
h
12．如图所示，光滑的水平圆盘中心O处有一个小孔，用细绳穿过小孔，绳两端各系一个小球A和B，两球质量相等，圆盘上的A球做半径为r=20cm的匀速圆周运动，要使B球保持静止状态，求A球的角速度ω应是多大？
A O
B
