专题9.5 椭圆
一、选择题
1
1．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则椭圆C的方程是_______.
3
c＝1，??c1xy【解析】依题意，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，所以?＝，a3ab??c＝a－b，
22
22
2
2
2
解得a＝9，b＝8.故椭圆C22
的方程为＋＝1.
98
x2y2
x2y2
2．椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为F1，F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|
ab成等差数列，则此椭圆的离心率为_______.
c1
【解析】由题意可得2|F1F2|＝|AF1|＋|F1B|，即4c＝a－c＋a＋c＝2a，故e＝＝. a2
x2y2
3．已知圆C1：x＋2cx＋y＝0，圆C2：x－2cx＋y＝0，椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)，若圆C1，C2都在椭圆
ab2
2
2
2
内，则椭圆离心率的取值范围是_______.
x2y2
4．已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)上的动点到焦点的距离的最小值为2－1.以原点为圆心、椭圆的短半轴长为
ab半径的圆与直线x－y＋2＝0相切，则椭圆C的方程为_______.
【解析】由题意知a－c＝2－1，又b＝
b＝1，?2
＝1，由?a－c＝b，1＋1
?a－c＝2－1
2
2
2
得a＝2，b＝1，故c＝1，椭
222
圆C的方程为＋y＝1
2
x2
2
x2y2
5．已知椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，
abB两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是_______.
【解析】 根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A，B两点到椭圆左、右焦点的距离和为4a＝2(|AF|＋|BF|)
4
5
＝8，所以a＝2.又d＝3. 2
|3×0－4×b|3＋－
2
4c≥，所以1≤b＜2，所以e＝＝2
5ab21－2＝ a1－.因为1≤b＜2，
4
b2所以0＜e≤
6．已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点E是椭圆C上的动点， EF1·EF2的最大值、最小
98值分别为_______.
x2y2
7．若椭圆的方程为【答案】4或8
【解析】由题可知c＝2.①当焦点在x轴上时，10－a－(a－2)＝2，解得a＝4.②当焦点在y轴上时，a－2－(10－a)＝2，解得a＝8.故实数a＝4或8.
8．点P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且△PF1F2的内切圆半径为1，当P在第一象限
2516时，P点的纵坐标为______． 8
【答案】 3
11
【解析】由题意知，|PF1|＋|PF2|＝10，|F1F2|＝6，S△PF1F2＝(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)×1＝|F1F2|·yP＝3yP228
＝8，所以yP＝.
3
2
2
＋＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a＝________. 10－aa－2
x2y2
x2y2
x2y21
9．已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的离心率等于，其焦点分别为A，B.C为椭圆上异于长轴端点的任意一点，
ab3
sin A＋sin B则在△ABC中，的值等于________．
sin C【答案】3
sin A＋sin B|CB|＋|CA|
【解析】在△ABC中，由正弦定理得＝，因为点C在椭圆上，所以由椭圆定义知|CA|
sin C|AB|sin A＋sin B2a1
＋|CB|＝2a，而|AB|＝2c，所以＝＝＝3.
sin C2ce10.如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2， B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于
P点，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为________．
【答案】?
?5－1?
，1?
?2?
二、解答题
x2y2
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，顶点B的坐标为
ab(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.
?41?(1)若点C的坐标为?，?，且BF2＝2，求椭圆的方程； ?33?
(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．
解：设椭圆的焦距为2c，则F1(－c,0)，F2(c,0)． (1)因为B(0，b)，所以BF2＝b＋c＝a. 又BF2＝2，故a＝2，即a＝2.
16199?41?2
因为点C?，?在椭圆上，所以＋2＝1，解得b＝1.
2b?33?故所求椭圆的方程为＋y＝1.
2
(2)因为B(0，b)，F2(c,0)在直线AB上， 所以直线AB的方程为＋＝1.
2
2
2
x2
2
xycb??解方程组?xy??a＋b＝1，
22
22
xy＋＝1，cb
??得?by＝??
1
2acx1＝22，
a＋c2
c2－a2
，
a2＋c2
??x2＝0，?
?y2＝b.?
222
2acbc－a??所以点A的坐标为?22，.
a2＋c2??a＋c?
222
2acba－c??又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为?22，.
a2＋c2??a＋c?
ba2－c2
－0
a2＋c2ba2－c2b因为直线F1C的斜率为＝，直线AB的斜率为－，且F1C⊥AB，所以223
2ac3ac＋cc－c22－
a＋cba2－c215?b?222222
(负值舍去)． 23·?－?＝－1.结合b＝a－c，整理得a＝5c.故e＝.因此e＝
3ac＋c55?c?
x2y2112.已知椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为c.
ab2
(1)求椭圆E的离心率；
522
(2)如图，AB是圆M：(x＋2)＋(y－1)＝的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程．
2
由|AB|＝10，得
2
b2－
2
＝10，解得b＝3.
2
故椭圆E的方程为x＋4y＝12，即＋＝1.
123
x2y2
