函数关系式：y=12x+3（0≤x≤26）． 12【总结升华】本题是一道几何与函数综合题，它以“问题情境--建立模型--解释、应用与拓展”的模式，通过动点P在AB上的移动构造探究性问题，让学生在“操作、观察、猜想、建模、验证”活动过程中，提高动手能力，培养探究精神，发展创新思维． 类型三、旋转变换
5．把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．
（1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证△APD∽△CDQ．此时AP?CQ的值为__________．将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，则AP?CQ的值是否会改变？（填“会”或“不会”）此时AP?CQ的值为__________．（不必说明理由）
（2）在（1）的条件下，设CQ=x，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式．（图2、图3供解题用）
（3）在（1）的条件下，PQ能否与AC平行？若能，求出y的值；若不能，试说明理由．
【思路点拨】（1）根据等腰直角三角形的性质可知∠A=∠C=45°，∠APD=∠QDC=90°，故可得出△APD∽△CDQ，故可得出结论；
（2）由于三角板DEF的旋转角度不能确定，故应分0°＜α≤45°与45°＜α＜90°时两种情况进行讨论，即可求出MG及MQ的值，进而可得出结论；
（3）在图（2）的情况下，根据PQ∥AC时，BP=BQ，即可求出x的值，进而得出结论． 【答案与解析】 （1）8，不会，8；
∵∠A=∠C=45°，∠APD=∠QDC=90°， ∴△APD∽△CDQ． ∴AP：CD=AD：CQ． ∴即AP×CQ=AD×CD， ∵AB=BC=4，
∴斜边中点为O， ∴AP=PD=2，
∴AP×CQ=2×4=8；
将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α． ∵在△APD与△CDQ中，∠A=∠C=45°， ∠APD=180°-45°-（45°+a）=90°-a， ∠CDQ=90°-a， ∴∠APD=∠CDQ． ∴△APD∽△CDQ． ∴APCD?， ADCQ2∴AP?CQ=AD?CD=AD=（12AC）=8． 2
（2）当0°＜α≤45°时，如图2，过点D作DM⊥AB于M，DN⊥BC于N， ∵O是斜边的中点， ∴DM=DN=2， ∵CQ=x，则AP=∴S△APD=8， x1881??2=，S△DQC=x×2=x， 2xx28∴y=8--x（2≤x＜4）， x当45°＜α＜90°时，如图3，过点D作DG⊥BC于G，DG=2 ∵CQ=x，AP=∴BP=8， x8-4, xBPBM?∵， DGMG8?42x2?MG即x，MG=, ?4?x2MGx2?4x?82x∴MQ=+（2-x）=, 4?x4?xx2?4x?8∴y=（0＜x＜2）； 4?x（3）在图（2）的情况下， ∵PQ∥AC时，BP=BQ， ∴AP=QC, ∴x=8，解得x=22， x822-22=8-42． ∴当x=22时，y=8-【总结升华】本题考查的是相似三角形的判定与性质及图形旋转的性质，三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
6 . 如图①，小慧同学把一个正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕点B1按顺时针方向旋转120°，此时点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）．
?和 小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转的过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即OO1?，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于 OO12扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和．
小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合， 然后将正方形纸片绕着顶点^按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动 到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕顶点B1按顺时针方向旋转90°，……， 按上述方法经过若干次旋转后．她提出了如下问题：
问题①：若正方形纸片OABC接上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运 动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形纸片OA BC按上述方法经过5次旋转，求顶 点O经过的路程；
问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是_______________? 请你解答上述两个问题．
【思路点拨】求出正方形OABC翻转时点O的轨迹弧长, 再求面积即可.要理解的是第4n次旋转，顶点O没有移动. 【答案与解析】
???解：问题①：如图，正方形纸片经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段圆弧OO1, O1O2, O2O3，
90???190???2?2??2??1??? 所以顶点O在此运动过程中经过的路程为???. 1801802??90???290???1?2??2?1?1?1??. 顶点 O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积为3603602??290???190???2?32??3??? 正方形纸片经过5次旋转，顶点O运动经过的路程为： ?2?2???. 180180??
问题②：∵ 正方形纸片每经过4次旋转，顶点O运动
90???190???2?2??2??1??. ??经过的路程均为：??1801802???41?2022???，而??201?????又是正方形纸片第4n+1次旋转，顶点O运动经过的路程. ??2222??∴正方形纸片OABC按上述方法经过81次旋转，顶点O经过的路程是【总结升华】本题涉及到分类归纳，图形的翻转，扇形弧长和面积. 举一反三：
【变式】 如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．正方形ABCD的边长为1，
41?202?. 2
