第3节 圆的方程
1．设圆的方程是x＋y＋2ax＋2y＋(a－1)＝0，若0 A．原点在圆上 C．原点在圆内 2 2 2 2 B．原点在圆外 D．不确定 2 解析：B [将圆的方程化成标准方程为(x＋a)＋(y＋1)＝2a，因为0 a)2＋(0＋1)2－2a＝(a－1)2>0，即0＋a2 ＋0＋1 2 >2a，所以原点在圆外．故选B.] 2．(2019·南开区模拟)圆心在y轴上，且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是( ) A．x＋y＋10y＝0 C．x＋y＋10x＝0 2 2 2 2 B．x＋y－10y＝0 D．x＋y－10x＝0 2 2 22 解析：B [圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切，设圆的圆心(0，r)，半径为r，则 3－0 2 ＋1－r2 ＝r.解得r＝5，所求圆的方程为x＋(y－5)＝25，即x＋y－10y2222 ＝0.故选B.] 3．(2019·揭阳市模拟)设点P是函数y＝－4－x－1 2 的图象上的任意一点，点 Q(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为( ) A. 85 －2 5 B.5 D.75 －2 5 C.5－2 解析：C [如图所示，点P在半圆C(实线部分)上，且由题意知，C(1,0)，点Q在直线 l：x－2y－6＝0上．过圆心C作直线l的垂线，垂足为A，则|CA|＝5，|PQ|min＝|CA|－2 ＝5－2.故选C.] 2 4．圆心在曲线y＝(x>0)上，且与直线2x＋y＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为 x( ) A．(x－1)＋(y－2)＝5 B．(x－2)＋(y－1)＝5 2 2 2 2 C．(x－1)＋(y－2)＝25 D．(x－2)＋(y－1)＝25 2?2?解析：A [由圆心在曲线y＝(x>0)上，设圆心坐标为?a，?，a>0.又圆与直线2x＋y2 2 22 x?a? 2 2a＋＋1 a4＋12 ＋1＝0相切，所以圆心到直线的距离d＝≥＝5，当且仅当2a＝，即a＝1 a55时取等号，所以圆心坐标为(1,2)，圆的半径的最小值为5，则所求圆的方程为(x－1)＋(y－2)＝5.故选A.] 5．(2019·温州市一模)已知线段AB垂直于定圆所在的平面，B，C是圆上的两点，H是点B在AC上的射影，当点C运动，点H运动的轨迹( ) A．是圆 C．是抛物线 B．是椭圆 D．不是平面图形 2 2 解析：A [设定圆圆心为O，半径为r，连接OH，设直径BD，连接AD，CD，由AB⊥平面BCD，可得AB⊥CD，由直径所对圆周角为直角，可得CD⊥BC，即有CD⊥平面ABC，可得 CD⊥BH，BH⊥AC，即有BH⊥平面ACD，则BH⊥DH，在直角三角形BDH中，可得OH＝OB＝OD＝r，即有H的轨迹为以O为圆心，r为半径的圆．故选A.] 6．已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)，则直角顶点C的轨迹方程为________． 解析：方法一：设顶点C(x，y)，因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3且 x≠－1. 又因为kAC＝所以 ，kBC＝且kAC·kBC＝－1， x＋1x－3 yy·＝－1，化简得x＋y－2x－3＝0. x＋1x－3 2 2 yy22 因此，直角顶点C的轨迹方程为x＋y－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)． 方法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)． 由直角三角形的性质知，AD＝DB＝DC. 由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不 共线，所以应除去与x轴的交点)，直角顶点C的轨迹方程为x＋y－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)． 答案：x＋y－2x－3＝0(x≠3且x≠－1) 7．(2019·南充市模拟)若直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)始终平分圆x＋y＋2x－4y＋1＝0的周长，则ab的取值范围是________． 解析：∵直线2ax－by＋2＝0(a、b∈R)始终平分x＋y＋2x－4y＋1＝0的周长，∴圆心(－1,2)在直线2ax－by＋2＝0上，可得－2a－2b＋2＝0，解得b＝1－a.∴a·b＝a(1－ 2 2 2 2 2 2 22 a)＝－?a－?2＋≤，当且仅当a＝时等号成立，因此a·b的取值范围为?－∞，?. 24 ?? 1? ? 114412 ?? 1? ? 1??答案：?－∞，? 4?? 8．(2019·贵阳市一模)由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)＋y＝1引切线，则切线长的最小值为________． 解析：设直线上一点为P，切点为Q，圆心为M，则|PQ|即切线长，MQ为圆M的半径，长度为1，|PQ|＝|PM|－|MQ|＝|PM|－1. 要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此题转化为求直线y＝x＋1上的点到圆心M的最小距离． 设圆心到直线y＝x＋1的距离为d，则d＝22.所以|PQ|＝|PM|－1≥ 答案：7 9．(2019·唐山市调研)已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|. (1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程； (2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值． 解：(1)设点P的坐标为(x，y)， 则 22 2 2 2 2 |3－0＋1|1＋－1 2 2 ＝22.所以|PM|的最小值为 22 2 －1＝7. x＋3 2 ＋y＝2 2 2 2 x－3 2 ＋y. 2 化简可得(x－5)＋y＝16，此方程即为所求． (2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．由直线l2是此圆的切线，连接CQ，则|QM|＝ |CQ|－|CM|＝|CQ|－16， 2 2 2 当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值， |5＋3| 此时|CQ|＝＝42， 2则|QM|的最小值为32－16＝4. 10．已知点(x，y)满足(x－3)＋(y－4)＝9，求： (1)3x＋4y的最大值与最小值； (2)(x＋1)＋y的最小值． 解：(1)设3x＋4y＝t，直线与圆有公共点， ∴ |9＋16－t| ≤3?|t－25|≤15?10≤t≤40. 5 2 2 2 2 ∴tmin＝10，tmax＝40. (2)解法一：(x＋1)＋y＝(4＋3cos θ)＋(4＋3sin θ)＝41＋24(sin θ＋cos θ)π??＝41＋242sin?θ＋?， 4?? ∴其最小值为41－242. 解法二：设M(x，y)是圆上的点，圆外一点M0(－1,0)，则(x＋1)＋y的几何意义是|MM0|，而|MM0|最小值是 |M0C|－r，即(4＋4－3)＝41－242. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
