一、线性规划：基本概念
1、下面的表格总结了两种产品A和B的关键信息以及生产所需的资源Q, R, S：
每单位产品资源使用量 资源 产品A 产品B
Q 2 1
R 1 2
S 3 3
利润/单位 3000美元 2000美元
满足所有线性规划假设。
（1）在电子表格上为这一问题建立线性规划模型； （2）用代数方法建立一个相同的模型； （3）用图解法求解这个模型。
可用资源 2 2 4
2、今天是幸运的一天，你得到了10000美元的奖金。除了将4000美元用于交税和请客之
外，你决定将剩余的6000美元用于投资。两个朋友听到这个消息后邀请你成为两家不同公司的合伙人，每一个朋友介绍了一家。这两个选择的每一个都将会花去你明年夏天的一些时间并且要花费一些资金。在第一个朋友的公司中成为一个独资人要求投资5000美元并花费400小时，估计利润（不考虑时间价值）是4500美元。第二个朋友的公司的相应数据为4000美元和500小时，估计利润为4500美元。然而每一个朋友都允许你根据所好以任意比例投资。如果你选择投资一定比例，上面所有给出的独资人的数据（资金投资、时间投资和利润）都将乘以一个相同的比例。
因为你正在寻找一个有意义的夏季工作（最多600小时），你决定以能够带来最大总估计利润的组合参与到一个或全部朋友的公司中。你需要解决这个问题，找到最佳组合。
（1）为这一问题建立电子表格模型。找出数据单元格、可变单元格、目标单元格，并且用SUMPRODUCT函数表示每一个输出单元格中的Excel等式。
（2）用代数方法建立一个同样的模型。
（3）分别用模型的代数形式和电子表格形式确定决策变量、目标函数、非负约束、函数约束和参数。
（4）使用图解法求解这个模型。你的总期望利润是多少？
3、伟特制窗（Whitt Window）公司是一个只有三个雇员的公司，生产两种手工窗户：木框
窗户和铝框窗户。公司每生产一个木框窗户可以获利60美元，一个铝框窗户可以获利30美元。Doug制作木框窗户，每天可以制作6扇。Linda制作铝框窗户，每天可以制作4扇。Bob切割玻璃，每天可以切割48平方英尺。每一扇木框窗户使用6平方英尺的玻璃，每一扇铝框窗户使用8平方英尺。
公司需要确定每天要制作多少窗户才能使得总利润最大。
（1）为这个问题建立一个电子表格模型，找出数据单元格、可变单元格、目标单元格，
1
并且用SUMPRODUCT函数表示每一个输出单元格中的Excel等式。
（2）请解释为什么这个电子表格模型是一个线性规划模型。 （3）用代数方法建立相同的模型。
（4）分别用模型的代数形式和电子表格形式确定决策变量、目标函数、非负约束、函数约束和参数。
（5）用图解法求解这个模型。
4、世界灯具（World Light）公司生产两种需要金属框架部件和电器部件的电灯装置。管理
层需要确定每一种产品要生产多少才能够使得利润最大。每一件产品1要1单位的框架部件和2单位的电器部件。每一件产品2要3单位的框架部件和2单位的电器部件。公司有200个单位的框架部件和300个单位的电器部件。每单位的产品1可得到利润1美元，每单位的产品2可得到利润2美元。产品2最多可以生产60个单位。超过60个单位的产品不能带来利润，因此不能有超产。
（1）为这个问题在电子表格上建立一个线性规划模型并求解。 （2）用代数形式建立相同的模型。
5、普里默（Primo）保险公司引入了两种新产品：特殊风险保险和抵押。每单位特殊风险
保险的利润是5美元，每单位抵押是2美元。
管理层希望确定新产品的销售量使得总期望利润最大。工作的要求如下： 每单位工时 部门 可使用工时 特殊风险 抵押
3 2 2400 承保
0 1 800 管理
2 0 1200 索赔
（1）为这个问题在电子表格上建立一个线性规划模型并求解。 （2）用代数形式建立相同的模型。
6、W&B（Weenies and Buns）是一家食品加工产，制作热狗和热狗面包。他们每星期最多
使用200磅自己的面粉制作热狗面包。每一个热狗面包需要0.1磅的面粉。最近他们与Pigland公司签订协议，Piglang公司每个星期一向公司供应800磅猪肉制品。每个热狗需要1/4磅的猪肉制品。其他所有的制作热狗和热狗面包的配料供应不足。W&B有5名全职雇员（每星期工作40小时）。制作每一个热狗需要3分钟，一个热狗面包需要2分钟。一个热狗能带来0.2美元的利润，一个热狗面包能带来0.1美元的利润。
W&B公司想知道每一个星期应当制作多少个热狗和热狗面包才能获得最大利润。 （1）为这个问题建立一个电子表格模型并求解。 （2）用代数形式建立相同的模型。 （3）用图解法求解这个模型。
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7、奥克家具（Oak Works）是一家手工制作餐桌和餐椅的家庭企业。他们从当地的一个林
场中获得橡木。林场每月运给他们2500磅的橡木。每一张餐桌要用50磅，一张餐椅要用25磅。家庭成员自己制作全部的家具，每月有480个工时可用。每张餐桌或餐椅要花去6个工时。一张餐桌可以为奥克家具带来400美元的利润，一张餐椅可以带来100美元的利润。由于桌子通常是与餐桌配套卖的，他们想要至少制作两倍于餐桌数量的椅子。
奥克家具公司需要确定制作多少餐桌和椅子以使得利润最大。 （1）为这个问题在电子表格上建立一个线性规划模型并求解。 （2）用代数形式建立相同的模型。 （3）用图解法求解这个模型。
8、拉尔夫·艾德蒙（Ralph Edmund）喜欢吃牛排和土豆，因此他决定将这两种食品作为正
餐的全部（加上一些饮料和补充维生素的食品）。拉尔夫意识到这不是最健康的膳食结构，因此他想要确定两种食品的食用量多少是合适的，以满足一些主要营养的需求。他获得了以下营养和成本的信息：
每份各种成分的克数 每天需要量 成分 （克） 牛排 土豆
5 15 ≥50 碳水化合物
20 5 ≥40 蛋白质
15 2 ≤60 脂肪
每份成本 4美元 2美元
拉尔夫想确定牛排和土豆所需要的份数（可能是小数），以最低的成本满足这些需求。 （1）为这个问题在电子表格上建立一个线性规划模型并求解。 （2）用代数形式建立相同的模型； （3）用图解法求解这个模型。
二、线性规划的敏感性分析
1、G.A.T公司的产品之一是一种新式玩具，该产品的估计单位利润为3美元。因为该产品
具有极大的需求，公司决定增加该产品原来每天1000件的生产量。但是从卖主那里可以购得的玩具配件（A,B）是有限的。每一玩具需要两个A类配件，而卖主只能将其供应量从现在的每天2000增加到3000。同时，每一玩具需要一个B类的配件，但卖主却无法增加目前每天1000的供应量。
因为目前无法找到新的供货商，所以公司决定自己开发一条生产线，在公司内部生产玩具配件A和B。据估计，公司自己生产的成本将会比从卖主那里购买增加2.5美元每件（A,B）。管理层希望能够确定玩具以及两种配件的生产组合以取得最大的利润。
将该问题视为资源分配问题，公司的一位管理者为该问题建立如下的参数表：
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每种活动的单位资源使用量 可获得的资源 资源 总量 生产玩具 生产配件
2 -1 3000 配件A
1 -1 1000 配件B
单位利润 3美元 -2.5美元
（1）为该问题建立电子表格模型并求解。
（2）因为两类活动的单位利润是估计的，所以管理层希望能够知道，为了保持最优解不变，估计值允许的变动范围。针对第一个活动（生产玩具），运用电子表格，求出该活动单位利润从2美元增加到4美元每次增加50每份时问题的最优解和总利润。在最优解不变的前提下，单位利润可以偏离其初值3美元多少？
（3）针对第二个活动（生产配件），重复（2）的分析，该活动的单位利润从-3.5美元增加到-1.5美元（第一种活动的单位利润固定在3美元）。
（4）运用Excel灵敏度报告来找到每个活动单位利润的允许变动范围。
（5）运用Excel灵敏度报告来描述在最优解不变的前提下，两个活动单位利润最多同时能改变多少。
2、考虑具有如下参数表的资源分配问题：
每种活动的单位资源使用量 可获得的资源 资源 总量 1 2
1 1 2 10
2 1 3 12
单位利润 2美元 5美元
该问题的目标是通过确定各种活动的水平，实现最大总利润。在what-if的分析中得知，对单位利润的估计在50%的范围内波动，也就是说，两个活动单位利润的可能值分别在1~3美元和2.5~7.5美元。
（1）基于最初的单位利润估计为该问题建立电子表格模型，然后用Excel求得最优解并生成灵敏度报告。
（2）如果活动1的单位利润从2美元减少到1美元，以及从2美元增加到3美元的情况下，最优解是否保持不变。
（3）同样，固定活动1的单位利润为2美元，如果活动2的单位利润从5美元减少到2.5美元，以及从5美元增加到7.5美元的情况下，最优解是否保持不变。
（4）运用灵敏度报告，找出每个单位利润的允许变化范围，然后用求得的允许变化范围检验（2）、（3）是否正确。
（5）运用Excel灵敏度报告来描述在最优解不变的前提下，两个活动单位利润最多同时能改变多少。
3、某工厂计划生产Ⅰ，Ⅱ两种产品，在生产过程中共使用三种资源。其中产品Ⅰ每单位需
要第一种资源2千克第二种资源3千克，需要第三种资源1千克；产品Ⅱ需要第一种资源2
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