2019年
第四节 随机事件的概率
☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆
考纲要求 真题举例 2016，全国卷Ⅱ，18,12分1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别； 2.了解两个互斥事件的概率加法公式。 (随机事件的概率) 2015，北京卷，17,13分(用频率估计概率) 2015，陕西卷，19,12分(用频率估计概率) 2014，福建卷，20,12分(用频率估计概率)
微知识 小题练
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1．事件
(1)在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件。 (2)在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件。 (3)在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件。 2．概率和频率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否发生，称n次实验中事件A发生的次数nA为事件
命题角度 1.多以选择题或填空题的形式直接考查互斥事件的概率及运算，而随机事件的有关概念和频率很少直接考查； 2.互斥事件、对立事件发生的概率问题有时也会出现在解答题中，多为应用问题。 nAA发生的频数，称事件A发生的比例fn(A)＝为事件A发生的频率。
n(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)。
3．事件的关系与运算
定义 如果事件A发生，则事件B一定发生，这符号表示 包含关系 时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B?A(或A?B) 相等关系 并事件(和事
若B?A，且A?B，那么称事件A与事件B相等 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件A＝B A∪B(或A＋B) 2019年 件) B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) 交事件(积事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) 若A∩B为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B(或AB) 互斥事件 A∩B＝? 对立事件 A∩B＝?且A∪B＝U 4．概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P≤1。 (2)必然事件的概率P(E)＝1。 (3)不可能事件的概率P(F)＝0。 (4)概率的加法公式：
如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)。 (5)对立事件的概率：
若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)。
微点提醒
1．频率与概率有本质的区别，不可混为一谈。频率随着试验次数的改变而改变，概率却是一个常数。当试验次数越来越多时，频率向概率靠近。
2．随机事件和随机试验是两个不同的概念，没有必然的联系。在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件；条件每实现一次，叫做一次试验，如果试验结果试验前无法确定，叫做随机试验。
3．对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件。
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一 、走进教材
1．(必修3P121练习T4)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( ) A．至多有一次中靶 C．只有一次中靶
B．两次都中靶 D．两次都不中靶
【解析】 射击两次的结果有：一次中靶；两次中靶；两次都不中靶，故至少一次中靶的互斥事件是两次都不中靶。故选D。
【答案】 D
2．(必修3P123A组T2改编)给出下列三个命题，其中正确的命题有________个。
①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3
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3
次出现正面，因此正面出现的概率是；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率。
7
3
【解析】 ①错，不一定是10件次品；②错，是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的
7概念。
【答案】 0 二、双基查验
1．在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为。当n很大时，P(A)与的关系是( ) A．P(A)≈ C．P(A)＞
mnmnmnmnB．P(A)＜ D．P(A)＝
mnmn【解析】 事件A发生的概率近似等于该频率的稳定值。故选A。 【答案】 A
2．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( ) A．至少有一个红球与都是红球 B．至少有一个红球与都是白球 C．至少有一个红球与至少有一个白球 D．恰有一个红球与恰有两个红球
【解析】 A中的两个事件不互斥，B中两事件互斥且对立，C中的两个事件不互斥，D中的两个互斥而不对立。故选D。
【答案】 D
3．掷一枚均匀的硬币两次，事件M：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N：至少一次正面朝上。则下列结果正确的是( )
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A．P(M)＝ P(N)＝
3211
B．P(M)＝ P(N)＝
2213
C．P(M)＝ P(N)＝
3413
D．P(M)＝ P(N)＝
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【解析】 由条件知事件M包含：(正、反)、(反、正)。事件N包含：(正、正)、(正、反)、(反、正)。故
P(M)＝，P(N)＝。故选D。
【答案】 D
4．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175]
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的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为________。
【解析】 由对立事件的概率可求该同学的身高超过175 cm的概率为1－0.2－0.5＝0.3。 【答案】 0.3
5．先后抛掷一枚硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是________。 7
【答案】
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微考点 大课堂
考点一 随机事件的关系 【典例1】 (1)从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中： ①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数； ②至少有一个是奇数和两个都是奇数； ③至少有一个是奇数和两个都是偶数； ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数。 上述事件中，是对立事件的是( ) A．① C．③
B．②④ D．①③
(2)设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 (1)③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”、“一奇一偶”、“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件。故选C。
(2)若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1。设掷一枚71
硬币3次，事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“3次出现正面”，则P(A)＝，P(B)＝，满足P(A)＋P(B)
88＝1，但A，B不是对立事件。故选A。
【答案】 (1)C (2)A
反思归纳 利用集合方法判断互斥事件与对立事件
1．由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥。
2．事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集。 【变式训练】 在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”
