上海市2013届高三下学期高考压轴卷数学理试题
考生注意： 1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.
2.本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟.
一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1.复数z满足z(1?i)?2（其中i为虚单位），则z? . 2.设集合A?{x|x?1},B?{x|x(x?2)?0}，则A?B? .
?3.直线l:xtan?y?1?0的倾斜角?? .
54.(x?)的展开式中，系数最大的项为第 项. 5.已知数列1,a1,a2,9是等差数列，数列1,b1,b2,b3,9是等比数列，则
_____________.
1x6b2的值为
a1?a25?1????)?，且??????，则cos(??)? . 1232127.若直线x?y?1?0与圆(x?a)2?y2?2有公共点，则实数a的取值范围
6.已知cos(是 .
8.已知定义域为R上的偶函数f(x)在(??,0]上是减函数,且f()?2,则不等式
12f(2x)?2的解集为_____________.
28则P(0???2)9.已知随机变量?服从正态分布N(2,?)，且P(??4)?0.，等
于 .
?2t?x??210.直线l的参数方程是?（其中t为参数），圆C的极坐标方程为?y?2t?42??2???2cos(??)，过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是 .
4?ACB?90?,AC?BC?2，点P是斜边AB上的一个三等分ABC11.在直角三角形中， ????????????????点，则CP?CB?CP?CA? .
?x?1?????1?12.设x,y满足约束条件?y?x，向量a?(y?2x,m),b?(1,?1)，且a//b,则m的最
2???2x?y?10小值为 .
13.将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是 .
14.已知正方体ABCD?A动点P在正方体ABCD?A1BC11D1的棱长为1，1BC11D1表面上运
动，且PA?r(0?r?3)，记点P的轨迹的长度为f(r)，则f()?______________;关于r的方程f(r)?k的解的个数可以为________.（填上所有可能的值）.
12二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
2013a?i15.若复数z?(a?2)?(a?2)i为纯虚数，则的虚部为（ ） 2?i22222 D.i 33x316.指数函数f(x)?a(a?0,且a?1)在R上是减函数，则函数g(x)?(a?2)x在R上的
A.22 B.22i C.
单调性为（ ）
A.单调递增 B.单调递减
C.在(0,??)上递增，在(??,0)上递减 D.在(0,??)上递减，在(??,0)上递增 17.已知锐角A，B满足2tanA?tan(A?B),则tanB的最大值为（ ） A.22 B.2 C.
22 D. 2418.对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足以下三个条件：
①对任意的x?[0,1]，总有f(x)?0 ②f(1)?1
③若x1?0,x2?0，x1?x2?1，都有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2) 成立； 则称函数f(x)为理想函数. 下面有三个命题：
（1）若函数f(x)为理想函数，则f(0)?0； （2）函数f(x)?2x?1(x?[0,1])是理想函数；
（3）若函数f(x)是理想函数，假定存在x0?[0,1]，使得f(x0)?[0,1]，且f[f(x0)]?x0， 则f(x0)?x0；
其中正确的命题个数有（ ）
A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分12分）本题共2小题，第（Ⅰ）小题6分，第（Ⅱ）小题6分.
设?ABC的三内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且
sinAsinC?3． 4（Ⅰ）求角B的大小；
????????12, 1)，当m?n取最小值时，判断?ABC的（Ⅱ）设向量m?(cosA, cos2A)，n?(?5形状.
20.(本题满分14分）本题共2小题，第（Ⅰ）小题6分，第（Ⅱ）小题8分.
如图，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，?BAC??ACD?90?，
?EAC?60?，AB?AC?AE．
（Ⅰ）在直线BC上是否存在一点P，使得DP//平面EAB？请证明你的结论； （Ⅱ）求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.
21.(本题满分14分）本题共3小题，第（Ⅰ）小题6分，第（Ⅱ）小题6分，第（Ⅲ）小题2分.
某省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放
射性污染指数f(x)与时刻x(时) 的关系为f(x)?是与气
象有关的参数，且a?[0,1]．
x2?a?2a?,x?[0,24]，其中a2x?132（Ⅰ）令t?x,x?[0,24]，写出该函数的单调区间，并选择其中一种情形进行证明； 2x?1 （Ⅱ）若用每天f(x)的最大值作为当天的综合放射性污染指数，并记作M(a)，求M(a)；（Ⅲ）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性
污染
指数是否超标？
22.(本题满分16分）本题共3小题，第（Ⅰ）小题4分，第（Ⅱ）小题6分，第（Ⅲ）小题6分.
2x2y2 已知点A(1,2)是离心率为的椭圆C：2?2?1(a?b?0)上的一点．斜率为2ba2的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合． （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）?ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？ （Ⅲ）求证：直线AB、AD的斜率之和为定值．
23.(本题满分18分）本题共3小题，第（Ⅰ）小题4分，第（Ⅱ）小题6分，第（Ⅲ）小题8分.
有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为
，公差为dm，并且a成等差数列． amk(,a,a,?,am,k?1,2,3,?,n, n≥3)1n2n3nnn（Ⅰ）证明d （3，p1,p2是m的多项式），并求p1?p2的值； ?pd?pd≤m≤nm1122（Ⅱ）当d时，将数列{dm}分组如下： 1, d31?2?(每组数的个数构成等差数列)．设前m(d), (d,d,)d, (d,,,ddd,)d,?123456789组中所有数之和为(c)(c0)，求数列{2mdm}的前n项和Sn． mm?（Ⅲ）设N是不超过20的正整数，当n?N时，对于（Ⅱ）中的Sn，求使得不等式
4c1(Sn?6)?dn成立的所有N的值． 50
2013上海市 高考压轴卷 理科数学试题答案及解析
一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1.【答案】1?i
22(1?i)??1?i 1?i22.【答案】{x|1?x?2}
【解析】B?{x|0?x?2},A?B?{x|x?1}?{x0?x?2}?{x|1?x?2}
【解析】z?
