2.1.4 两条直线的交点
学习目标 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.3.会求过两直线交点的直线方程，并能解决一些简单的直线过定点问题.
知识点 直线的交点与直线的方程组解的关系
思考1 直线上的点与其方程Ax＋By＋C＝0的解有什么样的关系？
思考2 已知两条直线l1与l2相交，如何用代数方法求它们的交点的坐标？
思考3 由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？
梳理 (1)两直线的交点
几何元素及关系 点A 直线l1 点A在直线l1上 直线l1与l2的交点是A (2)两直线的位置关系 代数表示 A(a，b) l1：A1x＋B1y＋C1＝0 1 / 7
??A1x＋B1y＋C1＝0，方程组??A2x＋B2y＋C2＝0? 的解 一组 一个 无数组 零个 直线l1，l2的公共点个数 直线l1，l2的位置关系 重合
类型一 两直线的交点问题
命题角度1 代数法判断两直线的位置关系
例1 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点. (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.
反思与感悟 两条直线相交的判定方法
方法一 方法二 方法三 联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交 两直线斜率都存在且斜率不相等 两直线的斜率一个存在，另一个不存在 跟踪训练1 直线y＝2x与直线x＋y＝3的交点坐标是________. 命题角度2 根据交点求参数的值或其范围 引申探究
若本例中直线的方程不变，其交点改为位于第三象限，则a的取值范围又如何？例2 已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是________. 反思与感悟 求解此类问题关键是先利用方程组的思想，联立两方程，求出交点坐标；再由点在某个象限时坐标的符号特征，列出不等式组而求得参数的取值范围.
跟踪训练2 若直线l1：y＝kx＋k＋2与l2：y＝－2x＋4的交点在第一象限，则实数k的取值范围是__________.
类型二 求过两条直线交点的直线方程
例3 求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方
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程. 引申探究
本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解.
反思与感悟 求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.也可用过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括l2的方程)，再根据其他条件求出待定系数，写出直线方程.
跟踪训练3 直线l经过原点，且经过另外两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为______________. 类型三 直线恒过定点问题
例4 求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标.
反思与感悟 解含有参数的直线恒过定点的问题
(1)任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解.
(2)含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ??A1x＋B1y＋C1＝0，是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组?
?A2x＋B2y＋C2＝0?
解得.
若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示所有直线必过定点(x0，y0).
跟踪训练4 不论m为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过的定点坐标是_____.
1.已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是__________. 2.已知直线y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则a的值为________. 3.不论m取什么实数，直线mx＋y－m＝0都过定点的坐标为________.
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4.下列各组直线中，两直线相交的为________.(填序号) ①y＝x＋2和y＝1； ②x－y＋1＝0和y＝x＋5；
③x＋my－1＝0(m≠2)和x＋2y－1＝0； ④2x＋3y＋1＝0和4x＋6y－1＝0.
5.直线l过直线2x－y＋4＝0与x－3y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0，则直线l的方程是________.
1.方程组{A1x＋B1y＋C1＝0，
A2x＋B2y＋C2＝0 有惟一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0.亦即
两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.
2.直线A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)是过直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线.
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