2.3.1 平面向量基本定理
主动成长
夯基达标
1.如图2-3-7,已知ABDEF是正六边形,且AB=a，AE=b，则BC等于（ ）
图2-3-7
A.
1111（a-b） B.（b-a） C.a+b D.（a+b） 2222解析:连结AD，则AD=AB+AE=a+b， ∴BC=
11AD=（a+b）. 22答案:D
2.如果e1、e2是平面α内所有向量的一组基底，那么（ ） A.若实数λ1、λ2使λ1e1+λ2e2=0，则λ1=λ2=0
B.空间任一向量a可以表示为a=λ1e1+λ2e2,这里λ1、λ2是实数 C.对实数λ1、λ2，λ1e1+λ2e2不一定在平面α内
D.对平面α中的任一向量a，使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1、λ2有无数对
解析:平面α内任一向量都可写成e1与e2的线性组合形式，而不是空间内任一向量，故B不正确；C中的向量λ1e1+λ2e2一定在平面α内；而对平面α中的任一向量a，实数λ1、λ2是唯一的. 答案:A
3.下面给出三个命题
①非零向量a与b共线，则a与b所在的直线平行；
②向量a与b共线的条件是当且仅当存在实数λ1、λ2使得λ1a=λ2b; ③平面内的任一向量都可用其他两个向量的线性组合表示. 其中正确命题的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:命题①，两共线向量a与b所在的直线有可能重合；命题③，平面α内的任一向量都可用其他两个不共线向量的线性组合表示，故①③都不正确. 答案:B
4.已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则AP等于（ ） A.λ(AB+AD),λ∈(0,1) B.λ(AB+BC),λ∈(0,
2) 22) 2C.λ(AB-AD),λ∈(0,1) D.λ(AB-AC),λ∈(0,
解析:∵点P在AC上且不包括端点A、C，∴AP=λAC,λ∈(0,1).由平行四边形法则，
AB+AD=AC，∴λ（AB+AD）=λAC=AP.
答案:A
5.如图2-3-8,在矩形ABCD中,若BC=5e1,DC=3e2,则OC等于（ ）
图2-3-8
1111（5e1+3e2） B.（5e1-3e2） C.（3e2-5e1） D.（5e2-3e1） 2222111解析: OC=AC=（AB+BC）=（3e2+5e1）.
222A.答案:A
6.如图2-3-9,D、E、F分别是BC、CA、AB的中点，则DE+EF+DF等于（ ）
图2-3-9
1AC C.-AC D.0 2111解析:DE+EF+DF=-AB+CB+CA
222111=CB+BA+CA 22211=CA+CA 22A.AC B.-=CA=-AC. 答案:C 7.设点O是
ABCD两对角线交点，下列向量组：①AD与AB；②DA与BC；③CA与DC；
④OD与OB.可作为该平面其他向量基底的是（ ）
A.①② B.①③ C.①④ D.③④
解析:根据平面向量基本定理得，平面内任意两个不平行的向量都可以作为这一平面内的一组基底，①③这两组为不平行向量. 答案:B
8.如图2-3-10，已知E、F分别是矩形ABCD的边BC、CD的中点，EF与AC交于点G，若AB=a，
AD=b，用a、b表示AG=_____________.
图2-3-10
3333AC=（a+b）=a+b. 444433答案: a+b
44解析:AG=
9.D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB的中点，且BC=a，CA=b，给出下列命题： ①AD=-
1111a-b；②BE=a+b；③CF=-a+b；④AD+BE+CF=0. 222211CB=-b-a， 22其中正确命题的序号为_______________. 解析:如图所示，AD=AC+CD=-b+
1BE=BC+CE=a+b，
2AB=AC+CB=-b-a，
1AB 2111=b+（-b-a）=b-a，
2221111AD+BE+CF=-b-a+a+b+b-a=0.
2222CF=CA+
所以应填①②③④.
答案:①②③④
10.如图2-3-11,已知点L、M、N分别为△ABC的边BC、CA、AB上的点，且
BLCMAN?l,?m,?n,若AL+BM+CN=0. BCCAAB求证：l=m=n.
图2-3-11
证明:设BC=a，CA=b为基底. 由已知得BL=la，CM=mb. ∵AB=AC+CB=-a-b, ∴AN=nAB=-na-nb. ∴AL=AB+BL=(l-1)a-b,①
BM=BC+CM=a+mb,② CN=CA+AN=-na+(1-n)b.③
将①②③代入AL?BM+CN=0，得 （l-n）a+(m-n)b=0. ∴l=m=n.
11.在△OAB中，OC=
11OA，OD=OB，AD与BC交于M点，设OA=a，OB=b. 42（1）用a、b表示OM.
（2）在已知线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M.设
OE=pOA,OF=qOB，求证:
13??1. 7p7q(1)解析:设OM=ma+nb,则AM=OM-OA=ma+nb-a=(m-1)a+nb,
11AD=OD-OA=b-a=-a+b.
22∵A、M、D三点共线，∴AM与AD共线. ∴
m?1n?.∴m+2n=1.① 1?12而CM=OM-OC
