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第4节
单_摆
1.在摆角小于5°的情况下，单摆的自由振动是简谐运动。 2．单摆是理想化模型：忽略在摆动过程中所受到的阻力，
摆线看成是不可伸长，且没有质量的细线。 3．单摆的回复力是由摆球的重力沿运动方向的分力提供，
与摆球偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置。
4．荷兰物理学家惠更斯首先提出单摆的周期公式T＝2π
l
，利用周期公式可以测定当地的重力加速度。 g
一、单摆
组成 细线 小球
单摆是理想化模型：忽略在摆动过程中所受到的阻力，实验中尽量选择质量大、体积小的小球和尽量细不可伸长的线。
二、单摆的回复力
1．回复力的提供：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力。
2．回复力的特点：在偏角很小时，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－
要求 摆线看成是不可伸长，且没有质量的细线 摆球看成是没有大小只有质量的质点 mgx。 l3．单摆的运动规律：单摆在偏角很小时做简谐运动，其振动图像遵循正弦函数规律。 三、单摆的周期
1．定性探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响
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(1)探究方法：控制变量法。 (2)实验结论
①单摆振动的周期与摆球的质量无关。 ②振幅较小时，周期与振幅无关。
③摆长越长，周期越长；摆长越短，周期越短。 2．定量探究单摆的周期与摆长的关系
(1)周期的测量：用停表测出单摆N(30～50)次全振动的时间t，利用T＝计算它的周期。
(2)摆长的测量：用刻度尺测出细线长度l0，用游标卡尺测出小球直径D，利用l＝l0
＋求出摆长。 2
(3)数据处理：改变摆长，测量不同摆长及对应周期，作出T-l、T-l或T-l图像，得出结论。
3．周期公式
(1)公式的提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。 (2)公式：T＝2π成反比。
4．周期公式的应用
4πl由单摆周期公式可得g＝2，只要测出单摆的摆长l和周期T就可算出当地的重力加
2
2
tNDl，即T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根gT速度。
1．自主思考——判一判
(1)制作单摆的细线弹性越大越好。(×) (2)制作单摆的细线越短越好。(×) (3)制作单摆的摆球越大越好。(×)
(4)单摆的周期与摆球的质量有关，质量越大，周期越小。(×) (5)单摆的回复力等于摆球所受合力。(×) 2．合作探究——议一议
(1)由于单摆的回复力是由摆球的重力沿切线方向的分力提供的，那么是否摆球的质量越大，回复力越大，单摆摆动得越快，周期越小？
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提示：不是。摆球摆动的加速度除了与回复力有关外，还与摆球的质量有关，即a∝，所以摆球质量增大后，加速度并不增大，其周期由T＝2π
(2)多多观察，写出生活中你能遇到哪些单摆模型。 提示：坐钟、牛顿摆、秋千等。
Fml决定，与摆球的质量无关。 g
对单摆回复力及运动特征的理解
1．单摆的回复力
图11-4-1
(1)单摆受力：如图11-4-1所示，受细线拉力和重力作用。 (2)向心力来源：细线拉力和重力沿径向的分力的合力。
(3)回复力来源：重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsin θ提供了使摆球振动的回复力。 2．单摆做简谐运动的推证
在偏角很小时，sin θ≈，又回复力F＝mgsin θ，所以单摆的回复力为F＝－x(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，单摆做简谐运动。
1．下列有关单摆运动过程中的受力，说法正确的是( ) A．单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力 B．单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力 C．单摆经过平衡位置时合力为零
D．单摆运动的回复力是摆线拉力的一个分力
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xlmgl....
解析：选B 单摆运动是在一段圆弧上运动，因此单摆运动过程不仅有回复力，而且有向心力，即单摆的合外力不仅要提供回复力，而且要提供向心力，故选项A错误；单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力，而不是摆线拉力的分力，故选项B正确，D错误；单摆经过平衡位置时，回复力为零，向心力最大，故其合外力不为零，所以选项C错误。
2.一单摆做小角度摆动，其振动图像如图11-4-2所示，以下说法正确的是( )
图11-4-2
A．t1时刻摆球速度最大，摆球的回复力最大 B．t2时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小 C．t3时刻摆球速度为零，摆球的回复力最小 D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大
解析：选D 在t1时刻和t3时刻摆球的位移最大，回复力最大，速度为零，A、C均错误；在t2时刻和t4时刻摆球在平衡位置，速度最大，悬线拉力最大，回复力为零，故B错误，D正确。
对单摆周期公式的理解
1．摆长l
(1)实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度，即l＝L＋，L为摆线长，d为摆球直径。 2
(2)等效摆长。
图11-4-3(a)中甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为l·sin α，这就是等效摆长，其周期T＝2π
dlsin α
。 g图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效。
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