3.6.6设在北纬60°自南向北发射一弹道导弹，其速率为400m/s，打击6.0km远的目标，问该弹受地球自转影响否？如受影响，偏离目标多少（自己找其它所需数据）?
解：以地球为参考系，导弹除受重力作用外，还要受离心惯性力和科氏惯性力的作用。
离心惯性力的方向在速度与重力加速度平面内，不会使导弹前进方位偏ω 离，而科氏惯性力的方向垂直速度、重力加速度平面（指向纸面），要使
f* v k导弹偏离前进方向。 × f* 由于导弹速度较大，目标又不是很远，可近似认为导弹做匀速直线运 C60 ° 动，导弹击中目标所需时间t=6000/400=15s，在此时间内导弹在科氏惯性 力作用下偏离目标的距离：
???⑵F?2ti?(1?t)j（N,s）分别求出t=0,1/4,1/2,3/4,1时的力并用图表示；再求t=0至t=1
时间内的冲量，也用图表示。 y F(0) F(1/4) F(1/2) F(3/4) F(1) ???3.7.1就下面两种受力情况：⑴F?2ti?2j（N,s），
121fk*212mv?sin60?2at??t??t?v?sin60?t222m2m2?3?400???152?5.7m24?60?602 S?2 1 ???解：⑴F?2ti?2j,代入t值得：
???11?????F(0)?2j,F(4)?2i?2j,F(12)?i?2j
??33????2?F()?i?2j,F(1)?2ij42y x 2 1 1 0 I 11????tdt?2???2?I??Fdt?2ij?dt?ij1000
2 I?12?22?5Ns,与x轴夹角
α 63.5° x α= arctgIy/Ix = arctg2 =
1 F(0) 0 ???0 ⑵ F?2ti?(1?t)j,代入t值得： 1 2 y ???3?11???1?F(0)?j,F(4)?2i?4j,F(12)?i?2j
??F(1/4) F(1/2) 33?1??F(4)?2i?4j,F(1)?2iF(3/4)
F(1) 1111??x ??tdt????1?y I??Fdt?2ij?dt??j?tdt?i1 2 2j00002
I?12?0.52?5/2Ns,与x轴夹角
α 1 α= arctgIy/Ix = arctg0.5 = 1
3.7.2一质量为m的
I 2 26.5° x 质点在o-xy平面上运动，其位置矢量为：
0 ?????bcos?t?v?dr/dt???asin?tij 解：质点速度：????m?bcosp?mv??m?asin?ti?t?j 质点动量：
大小：
方向：与x轴夹角为θ，tgθ= py/px = - ctgωt·b/a
???bsin?t?r?acos?tij，求质点的动量。
p?px?py?m?a2sin2?t?b2cos2?t22
3.7.3自动步枪连发时每分钟可射出120发子弹，每颗子弹质量为7.9g，出口速率为735m/s，求射击时所需的平均力。
解：枪射出每法子弹所需时间：Δt=60/120=0.5s，对子弹应用动量定理： 3.7.4 棒球质量为0.14kg,棒球沿水平方向以速率50m/s投来，经棒击球后，球沿水平成30o飞出，速率为80m/s，球与棒接触时间为0.02s，求棒击球的平均力。 v
解：以地为参考系，把球视为质点， 30o v0 F?t??p,F??p/?t?mv/?t?7.9?10?3?735/0.5?11.6N
???F?t?mv?mv0，画出矢 由动量定理，
由正弦定理 mv FΔt
22221/2F?t?(mv?mv?2mvvcos30?)00量图，由余弦定理，，代入数据，可求得F=881N.
2mv/sin??F?t/sin30?，代入数据， 30o α ,??18?32' mv0 求得sin??0.3179
3.7.5 质量为M的滑块与水平台面间的静摩擦系数为μ0，质量为m的滑块与M均处
于静止，绳不可伸长，绳与滑轮质量可不计，不计滑轮轴摩擦。问将m托起多高，松手后可利用绳对M冲力的平均力拖动M？设当m下落h后经过极短的时间Δt后与绳的铅直部分相对静止。
解：以地为参考系，选图示坐标，
先以m为研究对象，它被托起h，再落 y M v?2gh回原来位置时，速度大小为， x 在Δt极短时间内与绳相互作用，速度
又变为零，设作用在m上的平均冲力为F，相对冲力，重力作用可忽略，则由质点动量定m 理有：F?t?0?(?mv)?mv?m2gh，∴F?m2gh/?t 再以M为研究对象，由于绳、轮质量不计，轴处摩擦不计，绳不可伸长，所以M受到的冲力大小也是F，M受到的最大静摩擦力为fmax=μo Mg，因此,能利用绳对M的平均冲力托动M的条件是：
222F≥fmax，即m2gh/?t??oMg?h??oM(?t)g/2m
2
3.7.6质量m1=1kg, m2=2kg, m3=3kg, m4=4kg，m1, m2和m4三个质点的位置坐标顺次是：(x,y) = (-1,1), (-2,0), (3,-2)，四个质点的质心坐标是：(x,y)=(1,-1)，求m3的位置坐标。
解：由质心定义式：i?1?mixi??mixC,?miyi??miyCi?1i?1i?14444，有
m1x1?m2x2?m3x3?m4x4?(m1?m2?m3?m4)xC1?(?1)?2?(?2)?3x3?4?3?(1?2?3?4)?1,x3?1 m1y1?m2y2?m3y3?m4y4?(m1?m2?m3?m4)yC
3.8.1 质量为1500kg的汽车在静止的驳船上在5s内自静止加速至5m/s,问缆绳作用与驳船的平均力有多大？（分别用质点系动量定理、质心运动定理、牛顿定律求解）
解：（1）用质点系动量定理解： x m1 以岸为参考系，把车、船当作质点 F 系，该系在水平方向只受缆绳的拉 m2 力F的作用， 应用质点系动量定
1?1?2?0?3y3?4?(?2)?(1?2?3?4)?(?1),y3??1
理，有FΔt=m1v∴F=m1v/Δt=1500×5/5=1500N
（2）用质心运动定理解：F=(m1+m2)ac ,据质心定义式，有： (m1+m2)ac=m1a1+m2a2 ， a1为车对岸的加速度，a1=(v-0)/Δt=v/Δt， a2为船对地的加速度，据题意a2=0，∴ac=a1m1/(m1+m2)，代入a1， ac=m1v/[(m1+m2)Δt] ，∴F=m1v/Δt=1500N
（3）用牛顿定律解： a2=0 a1
分别分析车、船两个质点的 F f f
m2 m1 受力与运动情况：其中f为
静摩擦力，a1=v/Δt，对两个质点分别应用牛顿二定律：
f?m1a1?m1v/?t?1500NF?f?0F?f?1500N
3.8.2汽车质量m1=1500kg，驳船质量m2=6000kg，当汽车相对船静止时，由于船尾螺旋桨的转动，可使船载着汽车以加速度0.2ms-2前进. 若正在前进时，汽车自静止开始相对船以加速度0.5ms-2与船前进相反方向行驶，船的加速度如何？
解：⑴用质心定理求解 车相对船无论静止还是运动，螺旋桨的水平推力不变，即车、
船系统所受外力不变，由质心运动定理可知，车运动时的质心x
加速度与车静止时的质心加速度相等aC=0.2m/s2 a' a2 设车运动时相对船的加速度为a'，相对地的加速度为a1，
船相对地的加速度为a2，由相对运动公式：a1?a'?a2,①
由质心定义式可知：m1a1?m2a2?(m1?m2)aC将①代入②中，可得：
②
a2?aC?m1m1?m2a'，取船前进方向为正，代入数据：
15002a2?0.2?1500?6000(?0.5)?0.3m/s
⑵用质点系动量定理求解 设船所受的水平推力为F，在车静止时，可把车、船当作质量为(m1+m2)的质点，加速度为a=0.2，由牛顿第二定律：F?(m1?m2)a①
设车运动时相对船的加速度为a'，相对地的加速度为a1，船相对地的加速度为a2，由相对运动公式：a1?a'?a2,对车、船应用质点系动量定理的导数形式：
1F?m1dvdt?m2dv2dt?m1a1?m2a2?m1(a'?a2)?m2a2②
,取船前进方向为正，代
令①=②，
1(m1?m2)a?m1(a'?a2)?m2a2,a2?a?m1m?m2a'入数据：a2?0.2?1500?6000(?0.5)?0.3m/s2
3.8.3气球下悬软梯，总质量为M，软梯上站一质量为m的人，共同在气球所受浮力F作用下加速上升，当人以相对于软梯的加速度am上升时，气球的加速度如何？
解：由质心定理：F- (m+M)g = (m+M)aC ①
x 设人相对地的加速度为a1，气球相对地的加速度为a2，由相对运动公式：
a1=am+a2，由质心定义式可知：
（m+M）aC = ma1+Ma2=m(am+a2)+Ma2 ②
1500①②联立，可求得：
a2?F?mam?gm?M
-v 3.8.4水流冲击在静止的涡轮叶片上，水流冲击叶片曲面前后的速率都等于v，设单位时
间投向叶片的水的质量保持不变等于u，求水作用于叶片的力。
解：以水为研究对象，设在Δt时间内质量为Δm的水投射到叶片
v 上，由动量定理：
F?t??m(v2?v1),F??m?t(v2?v1)??2uv
由牛顿第三定律，水作用叶轮的力F'= -F=2uv
3.8.5 70kg重的人和210kg重的小船最初处于静止，后来人从船尾向船头匀速走了3.2m停下来，问人向哪个方向运动，移动了几米？不计船所受的阻力。
解：以地为参考系，选图示坐标o-x,设人的质量为m1=70kgm1 ，人相对地的速度为v1，相对船的速度为v1’，它们的方向显然与x轴
x 同向；设船的质量为m2=210kg，船相对地的速度为v2，（方向显然与x轴相反）；据相对运动的速度变换公式，人对地的速度v1=v1’+v2. m2 由于不计水的阻力，所以在水平方向上，人与船构成的质点系
动量守恒，有：m1v1+m2 v2=0，即 m1(v1’+ v2)+m2 v2=0 ，可求得 v2= - v1’m1/(m1+m2)，将上式两边同时乘上相互作用时间Δt，v2Δt=s2为船相对地的位移，v1’Δt=s1’=3.2m，即
s2 = - s1’m1/(m1+m2) = - 3.2×70/(70+210) = - 0.8m
3.8.6 炮车固定在车厢内，最初均处于静止，向右发射一枚弹丸，车厢向左方运动，弹丸射在对面墙上后随即顺墙壁落下，问此过程中车厢移动的距离是多少？已知炮车和车厢总质量为M，弹丸质量为m，炮口到对面墙壁的距离为L,不计铁轨作用于车厢的阻力。
解：以地为参考系,建立图示坐标o-x，设弹丸出口时相对车的速度为 v’, 对地的速度为v, 车后退的速度为V，据相对运动的速度变换公式，可知：v=v’+V 由于不计路轨对车的摩擦
x L 阻力，所以，在水平方向，弹、
车组成的质点系动量守恒，有
M m MV+m v=0，将v代入， V v' MV+m(v’+V)=0，V= - v’m/(m+M) 设弹发出到与车壁相碰所用时间为Δt，用Δt乘上式两边，得：
VΔt= - v’Δt m/(m+M)，其中：v’Δt= -L，VΔt即为车在此过程中前进的距离S，∴S=Lm/(m+M)
3.8.7载人的切诺基和桑塔纳汽车质量各为m1=165×10kg，和m2=115×10kg，各以速率v1=90km/h和v2=108km/h向东和向北行驶，相撞后连在一起滑出，求滑出的速度，不计摩擦
y (北) m1 v1 v α x(东) v2 m2 ?v解：设两车撞后的共同速度为，由动量守恒：
???m1v1?m2v2?(m1?m2)v
向x轴投影：m1v1?(m1?m2)vx
m1m1?m2?10v1?165?16510?115?10?92?54.2km/hvx?
vy?m2m1?m2向y轴投影：m2v2?(m1?m2)vy
?10v2?165?11510?115?10?108?44.36km/h
v?vx?vy?54.22?44.362?70km/h22与x轴夹角??arctgvy/vx?arctg44.36/54.2?39.3?
3.9.1 一枚手榴弹投出方向与水平面成 y 45o，投出的速率为25m/s，在刚要接触与发射 v v2 v1 点同一水平面的目标时爆炸，设分成质量相等 45o 45o 45o 的三块，一块以速度v3铅直朝下，一块顺爆炸 x 处切线方向以v2=15m/s飞出，一块沿法线方向
v3 v 以v1飞出，求v1和v3，不计空气阻力。
解：以地为参考系，把手榴弹视为质点系，
由于在爆炸过程中，弹片所受的重力远远小于弹片之间的冲力，因而在爆炸过程中可忽略重力作用，认为质点系动量守恒。
设手榴弹质量为m,爆炸前速度为v，由动量守恒，有：
????????mv?mv1/3?mv2/3?mv3/3?3v?v1?v2?v3，投影方程：
?3vcos45??v1cos45??v2cos45????3vsin45??v1sin45??v2sin45??v3 ，即 3v?v1?v2?(1)?3v?v1?v2?v3/sin45??(2)
?v1?3v?v2?3?25?15?90m/s???解得：?v3?(3v?v1?v2)sin45??902?127m/s
3.9.2铀238的核（质量为238原子质量单位）放射一个α粒子（氦原子的核，质量为4.0原子质量单位）后蜕变为钍234的核，设铀核原来是静止的，α粒子射出时的速率为1.4×107m/s，求钍核反冲的速率。
解：由动量守恒，有m钍v钍?m?v??0
v钍?
3.9.3 三只质量均为M的小船鱼贯而行，速度都是v，中间一船同时以水平速度u(相对于此船)把两质量均为m的物体抛到前后两只船上，问当两物体落入船后，三只船的速度各如何？
解：以岸为参考系， M v M v M v 以船前进的方向为坐标
的正方向；设物体抛出 M+m v3 M-2m v2 M+m v1 后，前边船、中间船、 后边船的速度变为v1、
v2、v3，船的质量与速度变化情况如上图所示；在物体抛出的过程中，这个系统的总动量是守恒的，因此：
前边船的动量变化应该等于中间船抛过来的物体的动量，即
(M+m)v1-Mv=m(u+v)，其中(u+v)是向前抛出物相对岸的速度，由此式可求得：v1=v+um/(m+M)，说明前边船速度变快。
同样，后边船的动量变化也应该等于中间船抛过来的物体的动量，即 (M+m)v3-Mv=m(-u+v)=m(v-u)，其中（v-u）是向后抛出物相对岸的速度，由此式可求得：v3=v-um/(m+M)，说明后边船速度变慢。
中间船的动量变化应该等于抛出物的动量之和，即
(M-2m)v2-Mv=m(u+v)+m(v-u)，由此式可求得：v2=v，说明中间船的速度没有发生变化。
m?4v???1.4?107?2.39?105m/sm钍234
