68、无论多少个末两位数是25的数相乘，它们的乘积的末两位数仍是25。我们称25是“变不掉的两位尾巴”。“变不掉的两位数尾巴”还有76。试求出所有“变不掉的三位数尾巴”。
69、证明：（299?399）能被5整除。 70、证明：（7766?3322）是10的倍数。
71、A=11n+22n+33n+44n+55n,在99以内,有多少个n使得A不能被5整除。
72、形如2P-1（P是质数）的质数称为梅森质数，截止到1998年1月，人们已知的最大的梅森质数是23021377-1，求它的个位数。
73、形如22n+1(n为非负整数)的数称为费马数.求证:当n≥2时,费马数的个位数字为7。
74、、是否存在自然数n,使得n2?n?7)是15的倍数?为什么?
75、如果有四位数6□□8能被73整除，那么商是多少？
76、如果四位数5□□6能被34整除，那么可以有多少个不同的商？ 77、个位数是6，且能被3整除的四位数有多少个？
78、三个数的和是555，这三个数分别能被3，5，7整除，而且商都相同，求这三个数。
79、判断331331?331能否被7整除。 100个331
80、求各位数字都是7，并能被63整除的最小自然数。
81、用1，2，3，4这四个数码可以组成24个没有重复数字的四位数，其中能被11整除的有哪些？
82、从2，3，5，7，8五个数中任选四个能组成哪些能被75整除的没有重复数字的四位数？
83、一个三位数能被11整除，去掉末位数字后所得的两位数能被9整除，这样的三位数有哪些？
84、求出能被11整除，首位数字是4，其余各位数字均不相同的最大和最小的六位数。
85、已知自然数2*3*4*5*1能被11整除，问：*代表数码几？ 86、已知四位数7**1能被9整除，问：*代表数码几？ 是24的倍数，A最大是几？ A75288、把一个三位数的百位和个位上的数字互换，得到一个新的三位数，新、旧两个三位数都能被4整除。这样的三位数共有多少个？
89、在8264的左右各添一个数码，使新得到的六位数能被45整除。
90、五位数
3A07B87、四位数
是275的倍数，求这个五位数。
91、在666后面补上三个数码组成一个六位数，使这个六位数能被783整除，应怎样补？
92、在5678这个数的前面或后面添写一个数2，所得到的两个五位数都能
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被2整除。现在请你找出一个三位数添写在5678的前面或后面，使所得的两个七位数都能被这个三位数整除。满足题意的三位数有哪几个？
93、一个四位数，四个数字各不相同，且是17的倍数，符合条件的最小四位数是多少？
94、一个自然数与19的乘积的最后三位数是321，求满足此条件的最小自然数。
95、一个整数乘以17后，乘积的后三位是999，求满足题意的最小整数。 96、1×2×3×?×15能否被9009整除？
97、A=61×62×63×?×87×88，A能否被6188整除？ 98、从1—9这九个数中选出六个不同的数字组成一个能被11整除的六位数，求出这样的六位数中最大的与最小的两数之和。
99、用1—9这九个数码组成一个没有重复数字的能被11整除的九位数，这样九位数有31680个，求出其中最大的和最小的。
100、形如1234563456,且能被11整除的最小自然数中的n等于几?
101、能否用1，2，3，4，5，6六个数码组成一个没有重复数字，且能被11整除的六位数？为什么？
102、用8个不同数码组成的八位数中，能被36整除的最小的数是几？ 103、用1—9这九个数码各一次，组成三个分别能被7，9，11整除的三位数，并要求这三个数的和尽可能大。
104、将自然数N接写在任一个自然数的右面，得到的新数都能被N整除。例如将2写在任一自然数的右面，得到的新都能被2整除。在1—100中，满足条件的自然数N有哪几个？
105、111?11是各位数字都是1的自然数，并且是7的倍数，求这样的数中最小的那个数。
106、666?66能被13整除吗？ 666个6
107、已知A是一个自然数，它是15的倍数，并且它的各个数位上的数码只有0和8两种。问：A最小是几？
108、如果
5ab5ab?5ab 99个5ab
是91的倍数,那么三位数
5ab是几?
abc110、一个四位数减去它的各位数字的和得到19□9，□中的数字是几？ 111、用1—9这九个数码各一次，组成三个能被9整除的三位数，要求这三个数的和尽可能大，求这三个数。
109、在三位数中，2b+c=12,求必定能整除这个三位数的最大自然数.
112、两个四位数
A275和
A275B相乘，要使它们的乘积能被72整除，求A
和B 。
113、用1，3，5，7，9中的任意一个数与2，4，6，8中的任意一个数相乘，在所有不同的乘积中有多少个能被6整除？
114、在1—13中任意取两个不同的数相乘，可以得到许多不相等的乘积，在所有这些不同的乘积中有多少个能被6整除？
115、有一个2000位数A能被9整除，它的各位数字之和为a,a的各位数字
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之和为b,b的各位数字之和为c。c等于多少?
116、已知自然数A的各个数位上的数码之和与3×A的各个数位上的数码之和相等，证明A必能被9整除。
117、小马虎买了72支同样的钢笔，可是发票不慎落水浸湿，单价已无法辨认，总价数字也不全，只能认出：□11.4元（□表示不明数字）。你能帮助小马虎找出不明数字吗？
118、小明买了6支铅笔、2支钢笔、3本笔记本和7块橡皮，总共用去2元9角钱。已知圆珠笔3角9分1支，橡皮6分1块，售货员算错账吗？
119、商店里有六仃货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客各买走了其中五箱。已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍。问：商店剩下的一箱货物重多少千克？
120、有一水果店进了六筐水果，分别装着香蕉和桔子，重量分别为8，9，16，20，22和27千克。当天只卖出一筐桔子，在剩下的五筐中香蕉的重量是桔子重量的2倍。问：这天水果店进了多少千克香蕉？
121、55个苹果分给甲、乙、丙三人，甲的苹果个数是乙的25倍，丙最少但也多于10个。问：三人各得多少苹果？
122、四名学生做加法练习：任写一个六位数，把它的个位数字（不等于0）拿到这个数最左边一位数字的左边得到一个新的六位数，然后与原六位数相加，他们的得数分别为172535，568741，620708，845267，其中只有一各同学做对了。问：正确答案是几？
123、证明：任意两个连续奇数的和一定是4的倍数。 124、证明：任意两个连续偶数的乘积是8的倍数。 125、证明：任意三个连续偶数的和一定是6的倍数。 126、证明：任意三个连续奇数的和一定是3的倍数。 127、证明：任意三个连续自然数的乘积是6的倍数。
128、证明：任意两个自然数的和、差、积中，至少有一个能被3整除。 129、甲数比乙数大5，乙数比丙数也大5，试说明三数之和、三数之积都能被3整除。
130、至少给出多少个自然数，才能使给出的数中总能选出3个，使得它们的和是3的倍数。
131、证明:任何一个三位数,连着写两遍得到一个六位数,这个六位数码相机一定能被7,11,13整除。
132、能不能将从1到10的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？
133、1—9九个数字按右图所示的次序排成一个圆圈， 请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和逆时针 次序形成两个九位数。如果要求剪开后所得到的两个 九位数的差能被396整除，那么应在何处剪开？
134、用六个2和若干个0组成的整数是否有可能是平方数？ 135、111111111111111是平方数吗？为什么？
136、从1—1000中选出一些数，使得这些数中任意两个数和都能和都能被18整除。这样的数最多能选多少个？
约数与最大公约数
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137、12345678987654321的除本身之外的最大约数是多少？
138、将一个两位数的十位数字减去或加上它的个位数字，所得到的两个数都是78的大于1的约数。求这个两位数。
139、有一个自然数，它的最小的两个约数之和是4，最大的两个约数之和是100，求这个自然数。
140、有一个自然数，它的最大的两个约数之和是123，求这个自然数。 141、求只有8个约数但不大于30的所有自然数。
142、给出一个自然数n,n的所有约数的个数用T（n）表示。（1）求T（42）；（2）求满足T（n）=2，那么n是怎样的数？
143、在1—100中，所有的只有3个约数的自然数的和是多少？ 144、如果自然数a和b各自恰好都有5个不同的约数，那么a×b能否恰好有10个不同的约数？
145、少年宫游乐厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。这200个灯泡按1—200个灯泡按1—200编号，它们的亮暗规则是：
第一秒，部灯泡变亮；
第二秒，编号为2的倍数的灯泡由亮变暗；
第三秒，凡编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态，即亮的变暗，暗的变亮；
一般地，第n秒凡编号为n的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态。 这样继续下去，每4分钟一个周期。问：第200秒时，明亮的灯泡有多少个？ 146、100以内约数个数最多的自然数有五个，它们分别是几？
147、整体上学生做两个两位数乘法时，把其中的一个乘数的个位数字9误看成7，得出的乘积是756。问：正确的乘积是多少？
148、给出一个自然数n，n的所有约数的和用S（n）表示，求S（24）和S（36）。
149、对于任意的大于2的自然数n，所有小于n且与n互质的自然数的个数是奇数还是偶数，还是不能肯定？
150、一个数如果等于除它本身以外的所有约数之和，则称此数为完全数。已知30以内有两个完全数，请将它们找出来。
151、某商店把几十个单价原为0.2元的转笔刀降价后全部售出，共卖得2.53元。问：降价后单价多少元？
152、有一瓶440毫升的酒和容量不同的甲、乙两种酒杯。如果将酒倒入甲种杯后，还剩35毫升酒（不足一杯）；如果将酒倒入乙种杯，则倒满若干杯后也剩35毫升（不足一杯）。已知甲、乙两种酒杯的容量都不超过100毫升，求甲、乙酒杯泊容量。
153、把21，26，65，99，10，35，18，77分成若干组，要求每组中任意两个数都互质，至少要分成几组？如何分？
154、a，b两数的最大公约数是12，已知a有8个约数，b有九个约数，求这些数的最大公约数。
155、用1—9这九个数码可以组成362880个没有得利数字的九位数，求这些数最大公约数。
156、用1—7这七个数码组成两个三位数和一个一位数，要求三个数中任意两个都互质。已知其中一个数为714，求另两个数。
157、现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数最大
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