考点： 二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系． 专题： 空间位置关系与距离；空间角．
分析： （1）由已知得PA⊥AD，PA⊥AB，AB⊥BC，从而PA⊥BC，进而BC⊥面PAB，又AF⊥PB，由此能证明AF⊥EF．
（2）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，P为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣B的平面角的正弦值．
解答： （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，△PAB与△PAD均是以A为直角顶点的等腰直角三角形，
∴PA⊥AD，PA⊥AB，又AD∩AB=A，AB⊥BC， ∴PA⊥平面ABCD，又BC?面ABCD，∴PA⊥BC， ∵AB∩PA=A，∴BC⊥面PAB， ∴BC⊥AF，
∵△PAB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，F是PB中点， ∴AF⊥PB，
又PB∩BC=B，∴AF⊥平面PBC， ∵EF?平面PBC，∴AF⊥EF．
（2）解：以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，P为z轴， 建立空间直角坐标系， 设AB=1，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），P（0，0，1），
=（0，0，1），=（1，1，0），
设平面APC的法向量=（x，y，z）， 则
，取x=1，得=（1，﹣1，0），
=（0，1，﹣1），=（1，1，﹣1），
设平面PBC的法向量=（a，b，c），
则，取b=1，得=（0，1，1），
|cos＜∴＜
＞|=||=，
，
．
＞=60°，又sin60°=
∴二面角A﹣PC﹣B的平面角的正弦值为
点评： 本题考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力． 20．（12分）为了估计某校的某次数学期末考试情况，现从该校参加考试的600名学生中随机抽出60名学生，其成绩（百分制）均在[40，100]上．将这些成绩分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如如图所示部分频率分布直方图．
（Ⅰ）求抽出的60名学生中分数在[70，80）内的人数；
（Ⅱ）若规定成绩不小于85分为优秀，则根据频 率分布直方图，估计该校的优秀人数．
考点： 用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图． 专题： 计算题．
分析： （Ⅰ）在频率分直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，根据频率的和等于1，求出成绩在[70，80）内的频率，得出频数． （Ⅱ）求出不小于85分的频率，再进行估计．
解答： 解：（Ⅰ）在频率分直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，频率的和等于1， 成绩在[70，80）内的频率1﹣（0.005+0.01+0.02+0.035+0.005）×10=0.25． 人数为0.25×60=15人．（4分）
（Ⅱ）估计该校的优秀人数为不小于85分的频率再乘以样本总量600，即
人．（8分）
点评： 本题考查频率分步直方图，本题解题的关键是正确运用直方图，在直方图中理解小
正方形的面积是这组数据的频率．
21．（12分）已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的焦距为2
，且过点A（，）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知l：y=kx﹣1，是否存在k使得点A关于l的对称点B（不同于点A）在椭圆C上？若存在求出此时直线l的方程，若不存在说明理由．
考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： （Ⅰ）通过椭圆的焦距求出c，利用a、b、c的关系以及点的坐标适合椭圆方程，求出a，b，即可求椭圆的方程；
（Ⅱ）法1：当k=0时，验证点
，代入
足条件．
法2：设AB：x=﹣ky+m，代入椭圆方程
不在椭圆上；当k≠0时，可设直线
利用韦达定理，以及对称综上，说明不存在k满
利用韦达定理，以及对称知识，说明k=1，
导出对称点B与点A重合，不合题意，不存在k满足条件． 法3：由l：y=kx﹣1可知直线l恒过点P（0，﹣1），设点A关于l的对称点B坐标为（x0，y0）， 利用|PA|=|PB|，求出
与A关于x=0对称，不存在k满足条件．
2
2
解答： 解：（Ⅰ）椭圆C：椭圆过点A（，）．∴椭圆的方程：
+=1（a＞b＞0）的焦距为2
2
，∴c=
2
，则a﹣b=2…①，
…②，解①②可得a=3，b=1，
（Ⅱ）法1：当k=0时，直线l：y=﹣1，点当k≠0时，可设直线
不在椭圆上；
，即2x+2ky﹣3﹣k=0
代入因为
整理得（4k+12）y﹣4k（k+3）y+（k+3）﹣12=0
，
222
所以
若A，B关于直线l对称， 则其中点
在直线y=kx﹣1上
所以，解得k=1
因为此时点在直线l上，
所以对称点B与点A重合，不合题意 所以不存在k满足条件．
法2：设AB：x=﹣ky+m，代入椭圆方程
化简得（k+3）y﹣2kmy+m﹣3=0，
2
2
2
，所以
若A，B关于直线l对称，则其中点所以又
，即2km=k+3． 在直线AB：x=﹣ky+m上，
2
在直线y=kx﹣1上，
所以2m﹣k=3，
2
消m得（3+k）k=k+3，所以k=1 因为此时点
在直线l上，
所以对称点B与点A重合，不合题意， 所以不存在k满足条件．
法3：由l：y=kx﹣1可知直线l恒过点P（0，﹣1）， 设点A关于l的对称点B坐标为（x0，y0）， 因为点A，B关于l对称，所以|PA|=|PB| 所以
①
又B在椭圆上，所以②
