限时规范训练十五 直线与圆
限时45分钟，实际用时
分值80分，实际得分
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)
1．(2017·山东省实验中学二诊)设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对的边，则直线sin A·x＋ay－c＝0与bx－sin B·y＋sin C＝0的位置关系是( )
A．平行 C．垂直
B．重合 D．相交但不垂直
sin A解析：选C.由题意可得直线sin A·x＋ay－c＝0的斜率k1＝－，bx－sin B·y＋sin Ca＝0的斜率k2＝
sin Ab，故k1k2＝－·＝－1，则直线sin A·x＋ay－c＝0与直线bxsin Basin Bb－sin B·y＋sin C＝0垂直，故选C.
2．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)＋(y－2)＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
53
A．－或－ 3554C．－或－ 45
32
B．－或－ 2343D．－或－ 34
2
2
解析：选D.点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，故可设反射光线所在直线的方程为
y＋3＝k(x－2)，∵反射光线与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，∴圆心(－3,2)到直线的距离d＝
|－3k－2－2k－3|432
＝1，化简得12k＋25k＋12＝0，解得k＝－或－.
34k2＋1
3．已知点M是直线3x＋4y－2＝0上的动点，点N为圆(x＋1)＋(y＋1)＝1上的动点，则|MN|的最小值是( )
9
A. 54C. 5
B．1 D.13 5
2
2
解析：选C.圆心(－1，－1)到点M的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d＝|－3－4－2|94
＝，故点N到点M的距离的最小值为d－1＝. 555
4．两个圆C1：x＋y＋2x＋2y－2＝0，C2：x＋y－4x－2y＋1＝0的公切线的条数为( ) A．1条 C．3条
2
2
2
2
2
2
B．2条 D．4条
2
2
解析：选B.C1：(x＋1)＋(y＋1)＝4，C2：(x－2)＋(y－1)＝4.圆心距d＝|C1C2|＝?2＋1?＋?1＋1?＝13.
2
2
|r1－r2|＜d＜r1＋r2，∴两圆C1与C2相交，有两条公切线，故选B.
5．圆C：x＋y－4x＋8y－5＝0被抛物线y＝4x的准线截得的弦长为( ) A．6 C．10
B．8 D．12
2
2
2
2
2
解析：选B.依题意，圆的标准方程为(x－2)＋(y＋4)＝25，圆心为(2，－4)，半径为5，抛物线y＝4x的准线为x＝－1，故弦长为25－?2＋1?＝8，故选B.
6．(2017·吉林长春三模)直线kx－3y＋3＝0与圆(x－1)＋(y－3)＝10相交所得弦长的最小值为( )
A．25 C．210
B.5 D.10
2
2
2
2
2
解析：选A.由题意易知直线kx－3y＋3＝0恒过圆内的定点(0,1)，则圆心(1,3)到定点(0,1)的距离为5，当圆心到直线kx－3y＋3＝0的距离最大时(即圆心(1,3)到定点(0,1)的距离)，所得弦长最小，因此最短弦长为2×10－5＝25.故选A.
7．若两直线l1：3x＋4y＋a＝0与l2：3x＋4y＋b＝0都与圆x＋y＋2x＋4y＋1＝0相切，则|a－b|＝( )
A.5 C．10
B．25 D．20
2
2
|a－b|
解析：选D.由题意知直线l1与l2平行，且它们间的距离等于d＝；又直线l1，l2均与
5|a－b|
题中的圆相切，因此它们间的距离等于该圆的直径4，即有＝4，即|a－b|＝20，故选D.
5
8．(2017·山东潍坊模拟)圆C：(x－1)＋y＝25，过点P(2，－1)作圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( )
A．1013 C．1023
2
22
2
B．921 D．911
解析：选C.因为圆的方程为(x－1)＋y＝25，所以圆心坐标为C(1,0)，半径r＝5，因为P(2，－1)是该圆内一点，所以经过P点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦．因为|PC|＝?2－1?＋?－1?＝2，所以与PC垂直的弦长为225－2＝223.因此所求四边形1
的面积S＝×10×223＝1023.
2
9．已知P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA是圆C：x＋y－2y＝0的一条切线，
2
2
22A是切点，若线段PA长度最小值为2，则k的值为( )
A．3
B.21
2
C．22
2
2
D．2
5
解析：选D.圆C：x＋(y－1)＝1，圆心C(0,1)，半径r＝1，圆心到直线的最小距离d＝＝2＋1，解得k＝2或k＝－2(舍去)，故选D.
2
2
k2＋1
10．(2017·河北石家庄二检)若圆(x－5)＋(y－1)＝r(r＞0)上有且仅有两点到直线4x＋3y＋2＝0的距离等于1，则实数r的取值范围为( )
A．[4,6] C．[5,7]
B．(4,6) D．(5,7)
222
|20＋3＋2|解析：选B.因为圆心(5,1)到直线4x＋3y＋2＝0的距离为＝5，又圆上有且仅有
5两点到直线4x＋3y＋2＝0的距离为1，则4＜r＜6，故选B.
11．若曲线C1：x＋y－2x＝0与曲线C2：x(y－mx－m)＝0有三个不同的公共点，则实数m的取值范围是( )
A．(0，3) C.?0，
B．(－3，0)∪(0，3) D.?－
2
2
??3?? 3???3??3?，0?∪?0，? 33???
2
2
解析：选D.由x(y－mx－m)＝0可知x＝0，y＝m(x＋1)，当直线y＝m(x＋1)与圆x＋y－2x＝0相切时，m＝±
33??3??
，当m＝0时，只有两个公共点，因此m∈?－，0?∪?0，?，故选D. 33??3??
12．已知两点M(－1,0)，N(1,0)，若直线y＝k(x－2)上存在点P，使得PM⊥PN，则实数k的取值范围是( )
?1??1?A.?－，0?∪?0，?
?3??3??11?C.?－，? ?33?
|－2k|
B.?－
??3??3?，0?∪?0，? 33???
D．[－5,5]
2
2
解析：选B.因为直线y＝k(x－2)上存在点P，使PM⊥PN，即以MN为直径的圆x＋y＝1与y＝k(x－2)相交或相切，即
k2＋1
≤1且k≠0，解得k∈?－
?
?3??3?，0?∪?0，?. 33???
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．圆心在直线x＝2上的圆与y轴交于A(0，－4)，B(0，－2)两点，则该圆的标准方程是________．
??0－2?＋?－4－a?＝r，?
解析：根据题意，设圆的方程为(x－2)＋(y－a)＝r，则?222
???0－2?＋?－2－a?＝r，
2
2
2
2
2
2
解得?
?a＝－3，???r＝5，
2
所以所求圆的方程为(x－2)＋(y＋3)＝5.
22
答案：(x－2)＋(y＋3)＝5
14．与直线x－y－4＝0和圆A：x＋y＋2x－2y＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．
解析：如图，易知所求圆C的圆心在直线y＝－x上，故设其坐为C(c，－c)半径为r，又其直径为圆A的圆心A(－1,1)到直线x－4＝0的距离减去圆A的半径2，即
2r＝
62
－2＝22?r＝2，
标－y2
2
22
即圆心C到直线x－y－4＝0的距离等于2， |2c－4|故有＝2?c＝3或c＝1，
2
当c＝3时圆C在直线x－y－4＝0下方，不符合题意，故所求圆的方程为(x－1)＋(y＋1)＝2.
答案：(x－1)＋(y＋1)＝2
15．(2017·山东威海模拟)抛物线y＝12x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，△FPM的外接圆的方程为________．
解析：据题意知，△PMF为等边三角形，PF＝PM，
2
2
2
2
2
∴PM⊥抛物线的准线，F(3,0)．
设M(－3，m)，则P(9，m)，等边三角形边长为MP＝2MA＝2×6＝12，如图．在直角△APF中，
PF＝12，FQ＝FA＝×PF2－PA2＝×122－62＝43，外心Q的坐标为(3，±43)，则△FPM的外接圆的半径为FQ＝43.
∴△FPM的外接圆的方程为(x－3)＋(y±43)＝48. 答案：(x－3)＋(y±43)＝48
16．(2017·山东青岛模拟)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x＋y－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
2
2
2
2
2
2
232323
