椭圆上一点P处的切线平分焦点三角形外角的证明
x2y2题目：已知F1,F2为椭圆2?2?1(a?b?0)的焦点，P为椭圆上一点。求证：点P
ab处的切线PT必平分?PF1F2在P处的外角.在解答此题之后，我们还得到一个重要的定理.
证法1 设F1(?c,0),F2(c,0),P(x0,y0).
x2y22x2y.y?对椭圆方程2?2?1两边求导得，2??0 2ababb2x∴ y???2
ay∴ k?kpT?y(?x0,y0)y l M 1 3 P 4 N 2 T l1 x b2x0??2
ay0F1 O D F2 又k1?kpF1?y0y0，k2?kpF2?， x0?cx0?cl2 由到角公式知
b2x0y?2?0ay0x0?ck?k2 tan?2??2bxy1?kk21?20.0ay0x0?c22b2cx0?(b2x0?a2y0) ?2
(a?b2)x0y0?a2cy0b2cx0?a2b2b2(cx0?a2)b2 ?2， ??22cx0y0?acy0cy0(cx0?a)cy0y0b2x0?2x0?cay0k1?kb2同理tan?1?. ??2ybx1?k1kcy01?0.20x0?cay0∵ ?1,?2?(0,?)， ∴ ?1??2， 又?1??4， ∴ ?2??4
证法2 设F1(?c,0)，F2(c,0)，P(x0,y0)，如图1，过F1、F2作切线PT的垂线，垂
足分别为M、N.
∵ 切线PT的方程为
x0xy0y?2?1，则点F1、F2到PT的距离为 2abF1M??cx0?12axy?ab204204，
F2N?cx0?1a2xy?ab204204
?cx0?122?cx?aF1M0a??∴ 2cx0?1F1Ncx0?aa2 ??ex0?aex0?a?a?ex0a?ex0?PF1PF2
∴ ?PMF1∽?PNF2
∴ ?1??2, 又∵?1??4 ∵ ?2??4.
两种证法都是由?1??2导出，如图，设PD为法线（即PD?切线PT），则PD平分
?F1PF2，故得如下重要定理.
定理 在椭圆上任意一点P的法线，平分该点两条焦半径的夹角. （到角公式）
把直线L1依逆时针方向旋转到与L2重合时所转的角，叫做L1到L2的角，简称到角.tanθ=(k2-k1)/(1+k1·k2)
