江苏省赣榆高级中学高三数学（理科）12月份质量检测
命题、校对：庄国台
一、填空题（每小题5分，共70分） 1、若102x=25，则10?x= .
15
2、定义在R上的函数f(x)的值域是（0，2），则g(x)?f(x?2007)－1的值域为 . (-1,1) 3、两条平行线l1:x?2y?3?0和l2:2x?4y?3?0的距离是 .3510
4、已知a与b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么｜a+b｜等于____ _.3 5、由若干个棱长为1的正方体拼成一个几何体，
其三视图如图所示，则该几何体的体积等于 .4 6、复数(1?i1?i)10
的值是 . －１
127、函数f(x)?logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为1，则实数a? . 2或8、一只蚂蚁在边长为3的正方形区域内随机地爬行,则其恰在离四个顶点距离都大于1的
地方的概率 .1??9
12(an?1?1an?1)(n?2)，试猜想这个数列的通项公式为 an?1
9、在数列{an}中，a1?1，an?10、已知x、y之间的一组数据如下：
x y 0 8 1 2 2 6 3 4 ??a?bx所表示的直线必经过点 ( ) . （1.5，5） 则线性回归方程y22?11、已知A(x1,y1),B(x2,y2)是圆x?y?2上两点，O为坐标原点，且?AOB?120，则
x1x2?y1y2? . -1
12、观察下列等式：sin30?sin30?sin30sin30?sin40?sin20?sin40sin20?20200020200034，
200034，sin50?sin10?sin50sin10?2034．
请你写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含了已知的等式（不要求证明）， 这个等式是 ．sin??sin(60??)?sin?sin(60??)?220034
13、我国于07年10月24日成功发射嫦娥一号卫星，并经四次变轨飞向月球。嫦娥一号绕地球运行的轨迹是以地球的地心为焦点的椭圆。若第一次变轨前卫星的近地点到地心的距离为m，远地点到地心的距离为n，第二次变轨后两距离分别为2m、2n（近地点是指卫星到地面的最近距离，远地点是最远距离），
则第一次变轨前的椭圆的离心率比第二次变轨后的椭圆的离心率 .（填变大或变小或不变） 不变
14、给定下列命题：
（1）空间直角坐标系O?XYZ中，点A??2,3,?1?关于平面XOZ的对称点为A（2）棱长为1的正方体外接球表面积为8?. （3）若非零实数a1,b1,a2,b2满足
a1a2?b1b2/??2,?3,?1?.
，则集合?x|a1x?b1?0???x|a2x?b2?0?.
12（4）已知函数y?f(x)的图象在M（1，f（1））处的切线方程是y?x+2，则f(1)?f?(1)＝3.
以上正确的命题是 1 、4 （请将你认为正确的命题的序号都填上）. 二、解答题
15、本小题满分12分）在?ABC中，若b?2,C?45?,cosC的对边).
（1）求cosA的值；
A2?255(a、b、c分别是三个内角A、B、
（2）求?ABC的面积S.
15、解：(1)由题意，得cosA?;
53(2)因为cosA?，A为三角形内角，所以sinA?5345，
107 sinB?sin(π?A?C)?sin?135?A???7210， 由正弦定理得 c?，
? S?12ac?sinB?12?2?107?45?87．
16、（本小题满分14分）
如图，长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?AD?1，AA1?2，点P为DD1的中点． （1）求证：直线BD1∥平面PAC； （2）求证：平面PAC?平面BDD1； （3）求：直线PB1与平面PAC所成的角． 16、（1）设AC与BD相交于O，证明BD1//PO； （2）证AC⊥平面BDD1即可；
（3）直线PB1⊥平面PAC,故所成的角为900.
CDBAC1D1B1A1P17、（本小题满分14分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1,F2在坐标轴上，离心率为2，且过点
?4,?10．
?（1）求双曲线方程；
??????????（2）若点M?3,m?在双曲线上，求证：MF1?MF2?0；
（3）对于（2）中的点M，求?F1MF2的面积．
17、解：（1）由题意，可设双曲线方程为x2?y2??，又双曲线过点4,?10，解得??6
∴ 双曲线方程为x2?y2?6； （2）由（1）可知，a?b?6，c?23， ∴ F1?23,0，F223,0
???????????????????????????∴ MF1??23?3,?m，MF2?23?3,?m， ∴ MF1?MF2?m2?3，
????又点M?3,m?在双曲线上， ∴ 9?m2?6， ??????????∴ m?3， 即MF1?MF2?0；
2（3）S?F1MF2?12F1F2m?12?43?3?6
∴?F1MF2的面积为6．
18、（本小题满分16分）通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律（f(t)越大，表明学生注意力越集中），经过实验分析得知：
??t2?24t?100(0?t?10)?f(t)??240(10?t?20)
??7t?380(20?t?40)? （1）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？
（2）讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？
（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当
安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？
2218、解：（1）当0?t?10时，f(t)??t?24t?100??(t?12)?244是增函数，且f(10)?240；
当20?t?40时，f(t)??7t?380是减函数，且f(20)?240.所以，讲课开始后10分钟，学生的
注意力最集中，能持续10分钟.
（2）f(5)?195,f(25)?205，故讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中.
2（3）当0?t?10时，f(t)??t?24t?100?180,则t?4；当20?t?40，
令f(t)??7t?380?180,则t?28.57，则学生注意力在180以上所持续的时间28.57－4=24.57 ＞24，所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题.
19、（本小题满分16分）如果有穷数列a1，a2，a3，?，am（m为正整数）满足条件a1?am，a2?am?1，?，
，我们称其为“对称数列”． am?a1，即ai?am?i?1（i?1，，2?，m）
例如，数列1，． 2，，52，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”
（1）设?bn?是7项的“对称数列”，其中b1，b2，b3，b4是等差数列，且b1?2，b4?11．依次写出?bn?的每一项；
（2）设?cn?是49项的“对称数列”，其中c25，c26，?，c49是首项为1，公比为2的等比数列，求?cn?各项的和S；
（3）设?dn?是100项的“对称数列”，其中d51，d52，?，d100是首项为2，公差为3的等差数列．求?dn?前n项的和Sn(n?1，，2?，100)．
19、解：（1）设数列?bn?的公差为d，则b4?b1?3d?2?3d?11，解得 d?3， ?数列?bn?为2，，，5811，，，852．
（2）S?c1?c2???c49?2(c25?c26???c49)?c25
?2?1?2?22???224??1?2?225?1??1?226?3?67108861． （3）d51?2，d100?2?3?(50?1)?149．
由题意得 d1，d2，?，d50是首项为149，公差为?3的等差数列． 当n≤50时，Sn?d1?d2???dn ?149n?n(n?1)2(?3)??32n?23012n．
当51≤n≤100时，Sn?d1?d2???dn
?S50??d51?d52???dn? ?3775?2?(n?50)? ?32n?2(n?50)(n?51)2?3
2992n?7500．
?32301?n?n，1≤n≤50，??22 综上所述，Sn??
3299?n2?n?7500，51≤n≤100．??2220、（本小题满分18分）已知函数f(x)?log[loga(??1),logx?2ax?2的定义域为[?,?]，值域为
aaa(??1)]，并且f(x)在[?,?]上为减函数。
（1）求a的取值范围；
（2）求证：2???4??； （3）若函数g(x)?loga(x?1)?logx?2aax?2,x?[?,?]的最大值为M，求证：0?M?1.
?????20、解：（1）由题意得，0?a?1，且????????,?是方程
x?2x?2?a(x?1)，即ax2?2?2?2?2?a(??1)，
?a(??1)?(a?1)x?2a?2?0的两根，
????(a?1)2?4a(?2a?2)?0?11?a?，得a?(0,)； ??????9a?2?2a?????a?（2）利用（1）中的结论，证(??4)(??4)?0即可； （3）g(x)?loga(x?1)?logx?2aax?2?loga(x?1)(x?2)ax?2?a(t?4t，x?[?,?]
令x?2?t,t?[??2,??2],则a(x?1)(x?2)x?2?5)?9a，
当且仅当t?2，即x?4时取等号。 所以M?loga(9a)?1?log
a9?1?1log9a?(0,1)。
