导数在研究函数中的应用（习题课）
【教学目标】 ? 知识与技能
（1）掌握利用函数单调性，证明形如“f(x)?g(x)”的不等式的方法； （2）初步掌握三次函数的单调性，会画三次函数的图象. ? 过程与方法
（1）体会转化的思想；（2）经历运用图形技术探究函数性质的过程，体会数形结合的思想； （3）提高学生分类讨论问题的能力. ? 情感态度价值观
（1）体会数学的直观性和严谨性；（2）体会数学以不变应万变的魅力. 【教学重点】运用导数研究函数的单调性.
【教学难点、关键】 探究三次函数单调性过程中的分类讨论. 【教学内容】
一.复习：请回忆利用导数研究函数单调性、极值和最值的方法. 二．典型习题与变式：
例1. 利用信息技术工具，画出函数f(x)?ax3?bx2?cx?d的图象，并改变a,b,c,d的值，观察图象的形状：
（1）你能归纳函数f(x)?ax3?bx2?cx?d图象的大致形状吗？它的图象有什么特点？你能从图象上大致估计它的单调区间吗？
（2）运用导数研究它的单调性，并求出相应的单调区间.
变式：已知函数f(x)?x3?3ax?1,a?0 （1）求f(x)的单调区间；
（2）若f(x)在x??1处取得极值，直线y?m与y?f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.
例2. 利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证： （1）e?1?x,x?0；
x（2）lnx?x,x?0.
引申：利用不等式“lnx?x,x?0”，证明：ln
三．小结
1. 证明形如“f(x)?g(x)”的不等式的方法：
2.利用导数可研究函数的单调性、极值等，从而作出初等函数的草图. 四．作业
1. 设a＜b,函数y?(x?a)(x?b)的图像可能是（ ）
1n?1?12?23???nn?1,n?N*.
22.设函数f(x)定义域内可导，f(x)的图像如图所示，则导函数f'(x)可能为（ ）
13
133．(2008广东理)设a?R，若函数y?eax?3x，x?R有大于零的极值点，则（ ） A．a??3 B. a??3 C. a?? D. a??
4.若函数f?x??x3?ax在区间?1,???内单调递增，则实数a的取值范围是 5、已知函数f(x)?x3?ax?1， （1）若函数f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使f(x)在区间(-1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由.
6、当x>1时，求证：2x?3?
1x.
