…………………………………………………………………………（4分） （2）用分层抽样的方法，从中选取20人，则“身高低于170cm”的有5人， 所以?可能的取值为0，1，2，3，
3C1591P(??0)?3?C202282C15C1355P(??1)??C37620则；；
2C1515C5P(??2)??C33820；
C31P(??3)?35?C20114，
则?的分布列如下：
?
P
∴E(?)?0 91228
1 3576
2 538
3 1114
34. ……………………………………………………………………（12分）
19. （本小题满分12分）
（1）证明：由题设AB?AC?SB?SC?SA， 如图4，连接OA，因为△ABC为等腰直角三角形，
OA?OB?OC?2SA2，且AO?BC，
所以
又△SBC为等腰三角形，
SO?2SA2，
故SO?BC，且
图4
222从而OA?SO?SA，
所以△SOA为直角三角形，SO?AO， 又AOBC?O，所以SO?平面ABC. ………………………………………（6分）
（2）解：以O为坐标原点，射线OB，OA，OS分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立如图5所示
的空间直角坐标系O?xyz.
设B(1，0，0)，则C(?1，0，0)，A(0，，10)，S(0，0，1)， SA?(0，，1?1)，SC?(?1，0，?1).
设平面SAC的法向量n1?(x，y，z)， ???n1SA?y?z?0，???y??x，由??n1SC??x?z?0?z??x，
令x?1，得n1?(1，?1，?1).
由（1）可知AO?平面SCB，因此取平面SCB的法向量n2?OA?(0，，10). ………………………………………………………………………………（10分）
1n2|3设平面ASCcos??|n与平面SCB的夹角为?，则
|nn?1||2|3. …………………………………………………………………………………（12分）20. （本小题满分12分）
解：（1）c?1，设M，N为短轴的两个三等分点，F为焦点， 因为△MNF为正三角形，
|OF|?332b所以
2|MN|1?，即
23， 解得b?3，a2?b2?1?4，
x2y2因此，椭圆方程为4?3?1. ………………………………………………（4分）（2）设直线的方程为y?kx?m(k?0).
??y?kx?m，①?x2y2?1，点A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐标满足方程组??4?3②
将①式代入②式，得
3x2?4(kx?m)2?12， 5
图 222整理得(4k?3)x?8kmx?4m?12?0，
222此方程有两个不等实根，于是??(8km)?4(4k?3)(4m?12)?0，
22整理得4k?m?3?0，③
由根与系数的关系，
可知线段AB的中点坐标(x0，y0)满足
y?x0?x1?x2?4km3m?2y0?kx0?m?224k?3，4k?3，
从而线段AB的垂直平分线方程为
3m1?4km???x???4k2?3k?4k2?3?，
?m???km??，0，0，????22y4k?34k?3????. x此直线与轴，轴的交点坐标分别为1?km224k?3由题设可得
2?m1?4k2?316，
(4k2?3)2m?，k?08|k|整理得，
(4k2?3)24k??3?08|k|将上式代入③式得，
222(4k?3)(4k?8|k|?3)?0，k?0， 整理得
1??313?|k|???，??2?2，所以k的取值范围是?2解得2?13??，??22?. ………………（12分）
21. （本小题满分12分）
1a(x?1)?a(x?1)(x?1)2?2axx2?(2?2a)x?1f?(x)????22x(x?1)x(x?1)x(x?1)2（1）解：，
因为f(x)在(0，??)上为单调增函数， ?所以f(x)≥0在(0，??)上恒成立，
2x即?(2?2a)x?1≥0在(0，??)上恒成立. 2xx?(0，??)当时，由?(2?2a)x?1≥0，
得
2a?2≤x?1x.
111?2g(x)?x?，x?(0，??)g(x)?x?≥2xxxx设，，
所以当且仅当x?1x，即x?1时，g(x)有最小值2，
所以2a?2≤2，所以a≤2，
所以a的取值范围是(??，2]. ………………………………………………（5分） m?nm?n?2， （2）证明：要证lnm?lnnmm?1?1nn?mm2∴ln?0ln∵m?n?0，nn，只需证， ?m??m?2??1?2??1?mmnn???0ln??ln??mmnn?1?1nn即证，只需证. 2(x?1)h(x)?lnx?x?1， 设
m?1h(x)(1，??)n由（1）知在上是单调增函数，又，
?m?2??1?m?n??0ln??m?mnh???h(1)?0?1n??n所以，即成立， m?nm?n?2. ……………………………………………………（12分） 所以lnm?lnn22. （本小题满分10分）【选修4?1：几何证明选讲】 解：（1）∵AB为圆O的直径，AB?DE，DH?HE，
∴DH2?AHBH?2(10?2)?16，
∴DH?4，DE?8. ………………………………………………………………（5分）
2∴PC?PDPE， ∵PCOC（2）切圆于点，
∴(25)2?PD(PD?8)，∴PD?2. …………………………………………（10分）
