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11．已知函数f(x)＝x－＋1－aln x，a>0.讨论f(x)的单调性．
xax2－ax＋2
解：由题意知，f(x)的定义域是(0，＋∞)，导函数f′(x)＝1＋2－＝.
xxx2
2
设g(x)＝x－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a－8. ①当Δ<0，即0
②当Δ＝0，即a＝22 时，仅对x＝2有f′(x)＝0，对其余的x>0都有f′(x)>0.此时f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数．
③当Δ>0，即a>22时，方程g(x)＝0有两个不同的实根x1＝
2
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a－a2－8
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，x2＝
a＋a2－8
2
，0 所以f(x)，f′(x)随x的变化情况如下表： x f′(x) f(x) (0，x1) ＋ x1 0 极大值 (x1，x2) － x2 0 极小值 (x2，＋∞) ＋ a－a2－8a＋a2－8?a－a2－8?此时f(x)在?0，，上单调递减，在?上单调递增，在222???a＋a2－8? ?，＋∞?上单调递增． 2?? 12．(2017·郑州质检)已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)． (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈，函数g(x)＝x＋x·?f′ 3 2 ? ? mx＋??在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围． 2? 解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)； a1－x.当a＞0时，f(x)的x当a＜0时，f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)； 当a＝0时，f(x)不是单调函数． (2)由(1)及题意得f′(2)＝－＝1，即a＝－2， 2∴f(x)＝－2ln x＋2x－3，f′(x)＝ 2x－2 . ax∴g(x)＝x＋?＋2?x－2x， ?2?∴g′(x)＝3x＋(m＋4)x－2. ∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数， 即g′(x)＝0在区间(t,3)上有变号零点． ??g′ 由于g′(0)＝－2，∴? ?g′? 2 3 ?m? 2 t＜0， 3＞0. g′(t)＜0，即3t2＋(m＋4)t－2＜0对任意t∈恒成立， 由于g′(0)＜0，故只要g′(1)＜0且g′(2)＜0， 即m＜－5且m＜－9， 即m＜－9； 37 由g′(3)＞0，得m＞－. 3所以－ 37 ＜m＜－9. 3 37 ，－9??. ?3? ?即实数m的取值范围是?－
