高考数学第二轮专题限时复习题10
专题限时集训(十)
[第10讲 数列求和及数列应用]
1．等比数列{an}首项与公比分别是复数i＋2(i是虚数单位)的实部与虚部，则数列{an}的前10项的和为( ) A．20 B．210－1 C．－20 D．－2i
2．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋?＋a10＝( ) A．15 B．12 C．－12 D．－15
3．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为( )
A．①和? B．⑨和⑩ C．⑨和? D．⑩和? 4．已知数列{an}满足a1＝t，an＋1－an＋2＝0(t∈N*，n∈N*)，记数列{an}的前n项和的最大值为f(t)，则f(t)＝________.
111
1．数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－1(n∈N*)，则Tn＝＋＋?＋的结果可化为( )
a1a2a2a3anan＋1
1
A．1－n
41
B．1－n
212
1－n? C.?3?4?12
1－n? D.?3?2?2．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S1，S3，S2成等差数列，则{an}的公比q等于( )
1
A．1 B.
21
C．－ D．2
2
3．“神七升空，举国欢庆”，据科学计算，运载“神七”的“长征二号”F火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程都增加2 km，在达到离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是( )
A．10秒钟 B．13秒钟 C．15秒钟 D．20秒钟
53?4．过圆x2－5x＋y2＝0内点P??2，2?有n条弦，这n条弦的长度依次成等差数列{an}，其中最短弦长为a1，最长的
11?弦长为an，且公差d∈??5，2?，那么n的取值集合为( )
A．{5,6} B．{4,5}
C．{3,4,5} D．{3,4,5,6}
a115．{an}为等差数列，若<－1，且它的前n项和Sn有最大值，那么Sn取得最小正值时，n的值为( )
a10
A．11 B．17 C．19 D．21
→→
6．在直角坐标平面内，已知点列P1(1,2)，P2(2,22)，P3(3,23)，?，Pn(n,2n)，?.如果k为正偶数，则向量P1P2＋P3P4→
＋P5P6＋?＋Pk－1Pk的纵坐标(用k表示)为__________．
7．在数列{an}中，有an＋an＋1＋an＋2(n∈N*)为定值，且a7＝2，a9＝3，a98＝4，则此数列{an}的前100项的和S100
＝________.
a＋1?n为奇数?，??n
8.已知以1为首项的数列{an}满足：an＋1＝?an(n∈N*)．
??2?n为偶数?
(1)写出a2，a3，a4，并求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{an}的前n项和Sn，求数列{Sn}的前n项和Tn.
9．已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝12且2a1，a2，a3＋1成等比数列． (1)求{an}的通项公式；
an(2)记bn＝n，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn.
3
专题限时集训(十)
【基础演练】 1．A 【解析】 根据复数实部和虚部的概念求出这个等比数列的首项和公比，按照等比数列的求和公式进行计算．该等比数列的首项是2，公比是1，故其前10项之和是20.
2．A 【解析】 a1＋a2＋?＋a10＝－1＋4－7＋10＋?＋(－1)10·(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋?＋[(－9101)·(3×9－2)＋(－1)·(3×10－2)]＝3×5＝15.
3．D 【解析】 从实际问题中考虑将树苗放在最中间的坑旁边，则每个人所走的路程和最小，一共20个坑，为偶数，在中间的有两个坑为10和11号坑，故答案选D.
?4.??t＋1?
?4?t为奇数?
2
t2＋2t
?t为偶数?，4
【解析】 由题可知{an}是等差数列，所以an＝－2n＋2＋t，所以Sn＝n(1＋t－n)＝－n2
2
1＋t?t＋1?t?21＋t?2tt
＋(1＋t)n.当t为奇数时，f(t)＝－?＋(1＋t)×＝；当t为偶数时，知n＝时，f(t)＝－?＋(1＋t)×＝?2?2422?2?t2＋2t
，故f(t)＝4?t＋1?2
?t为奇数?.4
【提升训练】
1?2n－1112?1－n?. ＝?，T＝b＋b＋?＋b＝n12n4?3?anan＋1?2?1
2．C 【解析】 依题意，由2S3＝S1＋S2得2(a1＋a1q＋a1q2)＝a1＋a1＋a1q，解得q＝－，选择C.
2
3．C 【解析】 设每一秒钟通过的路程依次为a1，a2，a3，?，an，则数列{an}是首项a1＝2，公差d＝2的等差
n?n－1?d
数列，由求和公式得na1＋＝240，即2n＋n(n－1)＝240，解得n＝15.故选C.
2
5?53
，0，半径r＝.又|PQ|＝，∴a1＝2r2－|PQ|2＝4，an＝2r＝5， 4．B 【解析】 已知圆的圆心为Q??2?22
an－a111?1
，，∴n∈(3,6)，∴n＝4或n＝5.5.C 【解析】 等差数列的前n项和有最大值，则其公∴d＝＝∈?
n－1n－1?52?a1＋a19a11差为负值，数列单调递减，根据<－1可知一定是a10>0，a11<0，由此得a11<－a10，即a11＋a10<0，S19＝×19
a102
a1＋a20
＝19a10>0，S20＝×20<0，由于Sn在取得最大值后单调递减，根据已知Sn在[11，＋∞)上单调递减，所以使得
2
Sn取得最小正值的n值为19.
2→→→
6.(2k－1) 【解析】 根据向量的坐标运算法则，向量P1P2＋P3P4＋P5P6＋?＋Pk－1Pk的纵坐标为－2＋22－23＋243
－2[1－?－2?k]2k－1k
－?－2＋2，这是一个公比为－2的等比数列的前k项和，其和是，由于k为正偶数，上式化简即为
31－?－2?
(2k－1)．
7．299 【解析】 设定值为M，则an＋an＋1＋an＋2＝M，进而an＋1＋an＋2＋an＋3＝M，后式减去前式得an＋3＝an，即数列{an}是以3为周期的数列．由a7＝2，可知a1＝a4＝a7＝?＝a100＝2，共34项，其和为68；由a9＝3，可得a3＝a6＝?＝a99＝3，共33项，其和为99；由a98＝4，可得a2＝a5＝?＝a98＝4，共33项，其和为132.故数列{an}的前100项的和S100＝68＋99＋132＝299.
3＋?－1?n
8．【解答】 (1)a2＝2，a3＝1，a4＝2，an＝. 2
n
3n1?－1?[1－?－1?]3n11(2)Sn＝＋·＝－＋(－1)n，
222244
n
3n?n＋1?11－[1－?－1?]32111∴Tn＝·－n＋·＝n＋n＋·(－1)n－(也可分奇数和偶数讨论解决)．
224442881＋19．【解答】 (1)∵S3＝12，即a1＋a2＋a3＝12， ∴3a2＝12，所以a2＝4，
又∵2a1，a2，a3＋1成等比数列， ∴a2(a3＋1)，即a2(a2＋d＋1)， 2＝2a1·2＝2(a2－d)·
解得，d＝3或d＝－4(舍去)，∴a1＝a2－d＝1， 故an＝3n－2.
1．C 【解析】 根据已知容易求得an＝2n1，设bn＝
－
???
t2＋2t
?t为偶数?，4
an3n－21
(2)解法1：bn＝n＝n＝(3n－2)·n，
3331111
∴Tn＝1×＋4×2＋7×3＋?＋(3n－2)×n，①
33331111111
①×得，Tn＝1×2＋4×3＋7×4＋?＋(3n－5)×n＋(3n－2)×n＋1，②
3333333
2111111
①－②，得Tn＝＋3×2＋3×3＋3×4＋?＋3×n－(3n－2)×n＋1
3333333
1?1?
21－n－13?3?115111
＝＋3×－(3n－2)·n＋1＝－×n－1－(3n－2)×n＋1， 3162333
1－3
3n－2156n＋51511
Tn＝－×n－2－×n＝－·.
44323443nan3n－211
解法2：bn＝n＝n＝n·n－1－2×n，
33331111
设An＝1＋2×＋3×2＋4×3＋?＋n×n－1，①
3333
111111
则An＝＋2×2＋3×3＋4×4＋?＋n×n，② 333333
11－n3211111133?1
＋n×， ①－②得，An＝1＋＋2＋3＋?＋n－1－n×n＝－n×n＝－?33333132?2?3n3
1－3
993?1
＋n×， ∴An＝－?4?42?3n11?
×?1－3n??9?93?1?1?56n＋513
∴Tn＝An－2×＝－?4＋2n?×n－?1－3n?＝－×n. 1434431－3
