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2.2.1
一、选择题
1．设e1、e2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( )
A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－2e2和4e2－6e1 C．e1＋2e2和e2＋2e1 D．e2和e1＋e2 [答案] B
[解析] ∵4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)， ∴3e1－2e2与4e2－6e1共线，不能作为基底．
2．已知c＝ma＋nb，要使a、b、c的终点在一条直线上(设a，b，c有公共起点)，m，n(m，n∈R)需满足的条件是( )
A．m＋n＝－1 C．m－n＝1 [答案] D
[解析] a，b，c的终点要在同一直线上， 则c－a与b－a共线， 即c－a＝λ(b－a)，
∵c＝ma＋nb，∴ma＋nb－a＝λb－λa， ∴(m－1＋λ)a＝(λ－n)b，
B．m＋n＝0 D．m＋n＝1
??m－1＋λ＝0
∵a、b不共线，∴?，消去λ，
?λ－n＝0?
∴m＋n＝1.
3．下面给出了三个命题：
①非零向量a与b共线，则a与b所在的直线平行；
②向量a与b共线的条件是当且仅当存在实数λ1、λ2，使得λ1a＝λ2b；
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③平面内的任一向量都可用其它两个向量的线性组合表示． 其中正确命题的个数是( ) A．0 C．2 [答案] B
[解析] 命题①两共线向量a与b所在的直线有可能重合；命题③平面内的任一向量都可用其它两个不共线向量的线性组合表示．故①③都不正确．
4．给出下列结论：①若a≠b，则|a＋b|<|a|＋|b|；②非零向量a、b共线，则|a＋b|>0；③对任意向量a，b，|a－b|≥0；④若非零向量a，b共线且反向，则|a－b|>|a|.其中正确的有( )个．( )
A．1 C．3 [答案] B
[解析] ①中有一个为零向量时不成立；②中a，b若是相反向量则不成立；③、④正确，故选B.
5．已知向量e1、e2不共线，实数x，y满足(x－y)e1＋(2x＋y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值等于( )
A．3 C．6 [答案] C
[解析] ∵e1，e2不共线，
B．－3 D．－6
B．2 D．4
B．1 D．3
???x－y＝6?x＝3
∴由平面向量基本定理可得?，解得?.
???2x＋y＝3?y＝－3
→→→
6．设一直线上三点A，B，P满足AP＝λPB(λ≠±1)，O为平面内任意一点，则OP用→→
OA，OB表示为( )
→→→A.OP＝OA＋λOB →→→B.OP＝λOA＋(1＋λ)OB →→→OA＋λOBC.OP＝ 1＋λ
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1→→1→
D.OP＝λOA＋OB
1－λ[答案] C
→→→→→→→→→
[解析] ∵OP＝OA＋λPB＝OA＋λ(OB－OP)＝OA＋λOB－λOP， →→→→
∴(1＋λ)OP＝OA＋λOB，∴OP＝
→→OA＋λOB1＋λ
.
→→
7．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP＝OA＋→→??ABAC?，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的( ) ＋λ??→→??|AB||AC|?
A．外心 C．重心 [答案] B
→→→→?ABAC?ABAC→→??平分AB＋[解析] 因与都为单位向量且λ∈[0，＋∞)，所以λ与AC?→→?→→
|AB||AC|?|AB||AC|?→
的夹角，即AP平分∠A，∴P点轨迹通过△ABC的内心．
→→→
8．已知P为△ABC所在平面内一点，当PA＋PB＝PC成立时，点P位于( ) A．△ABC的AB边上 B．△ABC的BC边上 C．△ABC的内部 D．△ABC的外部 [答案] D
→→→→→→→
[解析] 由PA＋PB＝PC，得PA＝PC－PB＝BC， 所以PA∥BC，所以P在△ABC的外部． 二、填空题
→→→→→
9．在?ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝________(用a、b表示)．
11
[答案] －4a＋4b
1→→→→→
[解析] ∵AN＝3NC，∴4AN＝3AC＝3(a＋b)，AM＝a＋2b， 111→3
∴MN＝4(a＋b)－?a＋2b?＝－4a＋4b.
B．内心 D．垂心
??
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10．已知向量a与b不共线，实数x，y满足等式3xa＋(10－y)b＝(4y＋7)a＋2xb，则x＝________，y＝________.
[答案]
4716 1111
??3x＝4y＋7
[解析] ∵a、b不共线，∴?
??10－y＝2x
?x＝11
，解得?16
y＝?11
47
.
→→
11．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，若a＋c＝b＋d，则四边形ABCD的形状是________．
[答案] 平行四边形
→→
[解析] 如图所示，∵a＋c＝b＋d，∴a－b＝d－c，即BA＝CD，故AB∥CD，且AB＝CD，即ABCD为平行四边形．
→→→
12．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC＝λAE＋μAF，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝________.
4
[答案]
3
→→
[解析] 设AB＝a，AD＝b， →1
∴AE＝2a＋b，
1→
AF＝a＋b，
2→
又∵AC＝a＋b，
24→2→→
∴AC＝(AE＋AF)，即λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.
333三、解答题
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