第七讲 巧填算符
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所谓填算符，就是指在一些数之间的适当地方填上适当的运算符号（包括括号），从而使这些数和运算符号构成的算式成为一个等式。
在填算符的问题中，所填的算符包括+、-、×、÷、（）、[]、｛｝。
解决这类问题常用的基本方法：凑数法、逆推法和试填法，常常这几种方法并用。
凑数法是根据所给的数，凑出一个与结果比较接近的数，然后，再对算式中剩下的数字作适当的增加或减少，从而使等式成立。凑数法常用于数字较多，结果也较大的题目。
逆推法常是从算式的最后一个数字开始，逐步向前推想，从而得到等式。逆推法常用于数字不太多，题目比较小的题目。
在解决实际填算符的问题时，通常需要我们打开思维，多方位思考！
例题精讲
【例1】在4个4 之间填上＋、－、×、÷或括号，使算式成立。 4 4 4 4=8
分析：这类问题我们可以用倒推法解决。想想：□+4=8，□-4=8，□×4=8，□÷4=8 ① 从□+4=8考虑，前面3个4 得4，即有4+4-4+4=8，4-4+4+4=8，4-﹝4-4﹞+4=8 ② 从□-4=8考虑，前面3个4 得12，即有4+4+4-4=8，4×4-4-4=8 ③ 从□×4=8考虑，前面3个4 得2，即有﹝4+4﹞÷4×4=8
④ 从□÷4=8考虑，前面3个4 得32，即有﹝4+4﹞×4÷4=8，4×﹝4+4﹞÷4=8
【例2】在下列五个5之间，添加适当的运算符号＋、－、×、÷或括号，使下面的算式成立。 5 5 5 5 5 = 10
分析：由于5的个数比较少，因此采用倒推法，即从结果出发，由后往前进行推想。
如果最后一个5前面添“+”号，那么我们只要使5 5 5 5 =5 成立便可，然后继续由后往前推，重复上面的想法，只要使 5 5 5 +5=5，即 5 5 5 =0 ，这个等式很容易完成，因此可以得到如下填法： （5-5）×5+5+5=10 ；（5-5）÷5+5+5=10 ；5×（5-5）+5+5=10 ； 同样思路可得：5×5-5-5-5=10；（5÷5+5÷5）×5=10；（5×5+5×5）÷5=10。
【例3】在下面算式适当的地方添上加号，使算式成立： 8 8 8 8 8 8 8 8=1000
分析：要在八个8之间只添加号，使和为1000，可先考虑在加数中凑出一个较接近1000的数，它可以是
888，而888＋88=976，此时，用去了五个8，剩下的三个8应凑成1000-976＝24，这只要三者相加就行了。 所以有888 + 88 + 8 + 8 + 8 = 1000 。
【例4】在下面算式适当的地方添上加号，使算式成立： 8 8 8 8 8 8 8 8=1999
分析：在1999=1111+888，所以易得：8 8 8 8 ÷ 8 + 8 8 8=1999 ，注意发散思维。
【例5】在下面算式合适的地方添上+、-、×，使等式成立。 1 2 3 4 5 6 7 8=1
分析：法1：逆推法。这道题的特点是等号左边的数字比较多，而等号右边的得数是最小的自然数1，可以考虑在等号左边最后一个数字8的前面添“-”号。 这时，算式变为：1 2 3 4 5 6 7-8＝1
只需让1 2 3 4 5 6 7=9就可以了，考虑在7的前面添“＋”号，则算式变为1 2 3 4 5 6＋7＝9，只需让1 2 3 4 5 6=2就可以了，同开始时的想法，在6的前面添“-”号，算式变为1 23 4 5-6＝2，这时只要1 2 3 4 5＝8即可.同样，在5前面添“＋”号，则只需1 2 3 4＝3即可.观察发现，只要这样添：1＋2×3-4＝3就得到本题的一个解为1＋2×3-4+5-6+7-8=1。
法2：这类问题用“和差法”也比较好做。8个数和为36，差为1。一奇一偶，无法用和差，就把1×2，则和为35，差为1.(35-1) ÷2=17,减数为17，凑17，可以是-4-6-7或-4-5-8则为1＋2×3-4+5-6+7-8=1， 1＋2×3-4-5+6-7+8=1。
【例6】（1）（第二届“兴趣杯”少年数学邀请赛预赛A卷）请用四则运算符号+、一、×、÷(每种可用多次，也可不用)，括号(如果需要的话)及四个数3、3、5、6组成算式，使得数为24．算式为_________. （2）（第二届“兴趣杯”少年数学邀请赛预赛B卷）用四则运算符号+、一、×、÷(每种可用多次，也可不用)，括号(如果需要的话)及四个数6、8、8、9组成算式，使最后得数为24．算式为__________. （3）用四则运算符号+、一、×、÷(每种可用多次，也可不用)，括号(如果需要的话)及四个数3、4、6、10组成算式，使最后得数为24．算式为__________.
分析：（1）5×6－3—3=24或(3+5)×(6—3)=24 ；（3×3-5）×6=24 （2）8×9—8×6=24 ； （3）（10+4-6）×3=24 ，4+6÷3×10=24 ，3×6-4+10 。这类题目称为“24点游戏”，就是给你4个数字，通过添加运算符号，使结果得到24 。
【例7】在下式的两数中间添上四则运算符号，使等式成立：
8 2 3 = 3 3
分析：首先考察右端“3 3”，它有四种填法：3+3=6 ，3-3=0，3×3=9，3÷3=1；再考察左端“8 2 3”，因为只有一个奇数3，所以要想得到奇数，3的前面只能填“＋”或“－”，要想得到偶数，3的前面只能填“×”。经试填，只有两种符合题意的填法：8-2+3=3×3 ；8÷2-3=3÷3 。
【例8】（首届“兴趣杯”少年数学邀请赛预赛B卷）在下面的数字之间添上五个加号“+”，组成算式，算出的结果最小=________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9
分析：要使结果最小，必须在6与7、7与8、8与9之间添“+”号，因此有：12+34+56+7+8+9=126．
【例9】用2，4，6，8，10，12，14，16这八个数填入下面算式的口中，每个数只能填一次，那么怎样填使计算结果最大。
分析：显得知，2×4+6×8×10+12×14×16 最大。
【例10】将1——9这九个数字，分别填入下面九个□中，使乘积最大 □□□×□□□×□□□
分析：遵循“把比较大的数都填在高位上”的原则和“和一定，差小积大”，有941×852×763 教师还可参讲附7，请灵活把握。
附加题目
【附1】（第二届“迎春杯”决赛）试在15个8之间适当的位置填上适当的运算符号：+、一、×、÷，使运算结果等于1986．
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 = 1986
分析：有了上题作铺垫，我们就不难得到：8888÷8+888—88÷8—8÷8—8÷8=1986 。
【附2】第九届《小数报》数学竞赛初赛）在8 8 8 8 8 8 8 8 8中添上适当的运算符号及括号，可使计算结果为1998．请写出一个这样的算式________.
分析：由1998=111×18可以写出一个算式：888÷8×[(88—8)÷8+8]．在一些情况下，我们需要对数字进行乘法“解剖”。
【附3】（第十届“迎春杯”决赛）在下面各数之间，填上适当的运算符号和括号，使等式成立 10 6 9 3 2=48
分析：填法不唯一，下面给出几种试卷中常见的填法：10×6一(9—3)×2=48；(10+6)×(9—3×2)=48； 10+6×(9—3)+2=48；10×(6+9)÷3—2=48；(10+6)×(9—3)÷2=48．
【附4】（第三届“兴趣杯”少年数学邀请赛初赛C卷）在口中填上适当运算符号“+、一、×、÷”，使下面等式成立：6口3口2=5口4，这样填写的方法共有_______种．
分析：共有4种填法：6×3÷2=5+4：6—3—2=5—4；6÷3÷2=5—4；6×3+2=5×4．
【附5】只添一个加号和两个减号，使下面的算式成立。
1 2 3 4 5 6 7 8 9=100 分析：123-45-67+89=100
【附6】在等号左端的两个数中间添加上运算符号，使下列各式成立：
（1）4 4 4 4 = 24 （2） 5 5 5 5 5 = 6
分析：（1）因为4＋4＋4＋4＜24，所以必须填一个“×”。4×4＝16，剩下的两个4只需凑成8，因此，有如下一些填法：4×4＋4＋4＝24；4＋4×4＋4＝24；4＋4＋4×4＝24。
（2）因为5+1=6，等号左端有五个5，除一个5外，另外四个5凑成1，至少要有一个“÷”，有如下填法：5÷5+5-5+5＝6；5＋（5＋5）÷（5＋5）＝6；5＋5×5÷5÷5=6；5＋5÷5×5÷5＝6，55÷55+5=6，答案不唯一。
【附7】在下面八个□里分别填上1——8，使差最小是多少。 □□□□-□□□□
分析：最高位相差1，先放其它位，最小减最大，5123-4876=247
练习七
1.在下列算式的□中，添入加号和减号，使等式成立。 ①1□23□4□5□6□78□9=100 ②12□3□4□5□6□7□89＝100 解答：
2．在下面算式适当的地方添上加号，使算式成立： 8 8 8 8 8 8 8 8 8=2007 解答：8 8 8 8 ÷ 8 + 8 8 8+8=2007 。
3．用四则运算符号+、一、×、÷(每种可用多次，也可不用)，括号(如果需要的话)及四个数1、3、3、4组成算式，使最后得数为24．算式为__________. 解答：3×4×（3-1）=24 。
4．在下面的数字之间添上四个加号“+”，组成算式，算出的结果最小=________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9
解答：12+34+56+78+9 = 189 。
5.用1——6组成2个三位数，差最小是多少？ 解答：412-365=47
6．在下面算式中填入5、4、3、2，每个数只能填一次，那么怎样填使计算结果最大。
