综上所述：当a＝0时，不等式解集为空集；当a＞0时，不等式解集为
???2?x?0＜x＜
a???
??
?；当??
a＜0
???2
时，不等式解集为?x?a
???
??
＜x＜0?.
??
【例9】已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．
[审题视点] 化为标准形式ax2＋bx＋c＞0后分a＝0与a≠0讨论．当a≠0时，?a＞0，
有? 2
?Δ＝b－4ac＜0.
解 原不等式等价于(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0对一切实数恒成立，显然a＝－2时，解集不是R，因此a≠－2， ?a＋2＞0，从而有? 2
?Δ＝4－4?a＋2??a－1?＜0，
?a＞－2，?a＞－2，?整理，得所以? ??a－2??a＋3?＞0，?a＜－3或a＞2，所以a＞2.
故a的取值范围是(2，＋∞)．
不等式ax2＋bx＋c＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，
?a＞0，
b＝0，c＞0；当a≠0时，?不等式ax2＋bx＋c＜0的解是全体实数(或恒
?Δ＜0；?a＜0，
成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＜0；当a≠0时，?
?Δ＜0.
【例10】 已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．
解 法一 f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a. ①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增， f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a恒成立， 只需f(x)min≥a，
即2a＋3≥a，解得－3≤a＜－1；
②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，
由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.
综上所述，所求a的取值范围为[－3,1]．
法二 令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，
Δ＞0，?
即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或?a＜－1，
?g?－1?≥0.解得－3≤a≤1.
所求a的取值范围是[－3,1]．
【例11】． 若不等式2x－1＞m（x2－1）对满足|m|≤2的所有m都成立，求x的取值范围.
剖析：对于m∈［－2，2］，不等式2x－1＞m（x2－1）恒成立，把m视为主元，利用函数的观点来解决.
解：原不等式化为（x2－1）m－（2x－1）＜0. 令f（m）=（x2－1）m－（2x－1）（－2≤m≤2）.
???（2x2?1）?（2x?1）?0，?f（?2）则?
2?f（2）?（2x?1）?（2x?1）?0.?解得
?1?71?3＜x＜. 222??x?x?2?0，【例12】．关于x的不等式?2的整数解的集合为{－2}，求实数k
?（2k?5）x?5k?0?2x?的取值范围.
解：由x2－x－2＞0可得x＜－1或x＞2.
2??x?x?2?0，∵?的整数解为x=－2，
2?（2k?5）x?5k?0?2x?又∵方程2x2+（2k+5）x+5k=0的两根为－k和－①若－k＜－②若－
5. 25，则不等式组的整数解集合就不可能为{－2}； 25＜－k，则应有－2＜－k≤3. 2∴－3≤k＜2.
综上，所求k的取值范围为－3≤k＜2.
【例13】．（2003年天津质量检测题）已知适合不等式|x2－4x+a|+|x－3|≤5的x的最大值为
3，求实数a的值，并解该不等式.
解：∵x≤3，∴|x－3|=3－x.
若x2－4x+a＜0，则原不等式化为x2－3x+a+2≥0.
此不等式的解集不可能是集合{x|x≤3}的子集，∴x2－4x+a＜0不成立.
于是，x2－4x+a≥0，则原不等式化为x2－5x+a－2≤0.∵x≤3， 令x2－5x+a－2=（x－3）（x－m）=x2－（m+3）x+3m，比较系数，得m=2，∴a=8. 此时，原不等式的解集为{x|2≤x≤3}.
【例14】． f（x）是定义在（－∞，3］上的减函数，不等式f（a2－sinx）≤f（a+1+cos2x）
对一切x∈R均成立，求实数a的取值范围.
解：由题意可得
?a2?sinx?3，??2 ?a?1?cosx?3，?22a?sinx?a?1?cosx???2?a?3?sinx，?即?a?2?cos2x，对x∈R恒成立. ?912?a2?a???（sinx?）42???a2?2，?故?a?1， ?912?a2?a???（sinx?）max42?∴－2≤a≤
1?10. 2一、选择题
1．(2014·长春调研)已知集合P＝{x|x2－x－2≤0}，Q＝{x|log2(x－1)≤1}，则 (?RP)∩Q＝ A．[2,3] C．(2,3]
( )．
B．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．(＋∞，－1]∪(3，＋∞)
解析 依题意，得P＝{x|－1≤x≤2}，Q＝{x|1＜x≤3}，则(?RP)∩Q＝(2,3]． 答案 C
2．(2014·沈阳质检)不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是
A．[－4,4]
( )．
B．(－4,4)
C．(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
解析 不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，只需Δ＝a2－16＞0，∴a＜－4或a＞4，故选D． 答案 D
x??，x≥0，
3．(2013·咸阳模拟)已知f(x)＝?2
??－x2＋3x，x<0，
A．{x|x≥4} C．{x|－3 则不等式f(x) ( )． B．{x|x<4} D．{x|x<－3} 4 解析 f(4)＝2＝2，不等式即为f(x)<2. x 当x≥0时，由2<2，得0≤x<4； 当x<0时，由－x2＋3x<2，得x<1或x>2，因此x<0. 综上，x<4.故f(x) 1??1 4．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是?－2，－3?，则不等式x2－bx－a＜0的 ??解集是 A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞) ?11? C.?3，2? ?? 1??1??D．?－∞，3?∪?2，＋∞? ???? 11 解析 由题意知－2，－3是方程ax2－bx－1＝0的根，所以由根与系数的关1?1?b?1??1?1 系得－2＋?－3?＝a，?－2?×?－3?＝－a.解得a＝－6，b＝5，不等式x2－bx ??????－a＜0即为x2－5x＋6＜0，解集为(2,3)． 答案 A 5．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，不等式f(x)＜0的解集为{x|x＜－3，或x＞1}，则 ( )．
