2 ?x3?x3?x1?(2?4?3?2?3)?(2?4?2)??8m
?x??x1??x2?10m
1-8. 一弹性球直落在一斜面上，下落高度h?20cm，斜面对水平的倾角??30，问它第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多远(假设小球碰斜面前后速度数值相等，碰撞时人射角等于反射角)。
图 1-8
解：小球落地时速度为v0?
?
2gh 一 建立直角坐标系，以小球第一次落地点为坐标原点如图
00 vx0?v0cos60 x?v0cos60t? vy01gcos600t2 （1） 21?v0sin600 y?v0sin600t?gsin600t2 （2）
22v0 g第二次落地时 y?0 t?22v0102?0.8m 所以 x?v0cos60t?gcos60t?2g01-9. 地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上的物体仍能保持在地球上而不致离开地球?已知现在赤道上物体的向心加速度约为3.4cm/s，设赤道上重力加速度为9.80m/s.
解：赤道上的物体仍能保持在地球必须满足 g?R?
2223.4?10?2 现在赤道上物体???
R
?9.8??17 ?2??3.4?101-10. 已知子弹的轨迹为抛物线，初速为v0，并且v0与水平面的夹角为?.试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。
解：在顶点处子弹的速度v?v0cos?，顶点处切向加速度为0。 因此有：g?v2??(v0cos?)2?2v0cos2? ??
g2v02v0 在落地点速度为v0 gcos?? ??
?gcos?1-11. 飞机以v0?100m/s的速度沿水平直线飞行，在离地面高h?98m时，驾驶员要把物品投到前方某一地
面目标上，问：投放物品时，驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度?此时目标距飞机下方地点多远?
解：设此时飞机距目标水平距离为x有：x?v0t h?联立方程解得：x?447m ??arctan12gt 2x?77.50 h1-12. 设将两物体A和B分别以初速vA和vB抛掷出去．vA与水平面的夹角为?；vB与水平面的夹角为?，试证明在任何时刻物体B相对物体A的速度是常矢量。
解：两个物体在任意时刻的速度为 vA?v0cos?i?(v0sin??gt)j vB?v0cos?i?(v0sin?-gt)j
?vBA?vB-vA?(v0cos??v0cos?)i?(v0sin??v0sin?)j
与时间无关，故B相对物体A的速度是常矢量。
1-13. 一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速为v0?49.0m/s，而气球以速度v?19.6m/s匀速上升，问气球中的观察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各多少？
物体在任意时刻的速度表达式为 vy?v0?gt 故气球中的观察者测得物体的速度?v?vy?v 代入时间t可以得到第二秒末物体速度?v?9.8m
s第三秒末物体速度 ?v?0 第四秒末物体速度 ?v??9.8m
s1-14. 质点沿x在轴向运动，加速度a??kv，k为常数．设从原点出发时速度为v0，求运动方程x?x(t).
v1tdv解： ??kv ?dv???kdt v?v0e?kt
v0v0dtxtdx ?v0e?kt ?dx??v0e?ktdt
00dt x?v0(1?e?kt) k2?11-15. 跳水运动员自10m跳台自由下落，入水后因受水的阻碍而减速，设加速度a??kv，k?0.4m.求运动员速度减为入水速度的10%时的入水深度。
解：取水面为坐标原点，竖直向下为x轴 跳水运动员入水速度 v0?2gh?14m
sdvdv?kv??v
dtdx2?v010v0x1dv???kdx
0vx?1ln10?5.76m k1b1-16. 一飞行火箭的运动学方程为：x?ut?u(?t)ln(1?bt)，其中b是与燃料燃烧速率有关的量，u为燃气相对火箭的喷射速度。求：（1）火箭飞行速度与时间的关系；（2）火箭的加速度。
解：（1）v?dx??uln(1?bt) dtdvub （2）a? ?dt1?bty?Rsin?t,z?h（1）?t,式中R、h、?为正的常量。求：
2?1-17. 质点的运动方程为：x?Rcos?t,质点运动的轨道方程；（2）质点的速度大小；（3）质点的加速度大小。
解：（1）轨道方程为 x?y?R
222z?h?t 这是一条空间螺旋线。 2?在Oxy平面上的投影为圆心在原点，半径为R的圆，螺距为h （2）vx?dx??R?sin?t dt2x2y2z2h2 v?v?v?v??R?
4?222（3）ax??R?cos?t ay??R?sin?t az?0
a?22ax?ay?R?2
思考题
1-1. 质点作曲线运动，其瞬时速度为v，瞬时速率为v，平均速度为v，平均速率为v，则它们之间的下列四种关系中哪一种是正确的?
（1）v?v,v?v；（2）v?v,v?v；（3）v?v,v?v；（4）v?v,v?v
答： （3）1-2. 质点的x~t关系如图，图中a，b，c三条线表示三个速度不同的运动．问它们属于什么类型的运动?哪一个速度大？哪一个速度小？
答：va?vb?vc
1-3. 结合v~t图，说明平均加速度和瞬时加速度的几何意义。
答：平均加速度表示速度?v在?t时间内的平均变化率，它只能粗略地反映运动速度的变化程度和方向，而
瞬时加速度能精确反映质点运动速度的变化及方向。
1-4. 运动物体的加速度随时间减小，而速度随时间增加，是可能的吗？
答：是可能的。加速度随时间减小，说明速度随时间的变化率减小。
1-5. 如图所示，两船A和B相距R，分别以速度vA和vB匀速直线行驶，它们会不会相碰?若不相碰，求两船相靠最近的距离．图中?和?为已知。
答：方法一 如图，以A船为参考系，在该参考系中船A是静止的，而船B的速度v??vB?vA.
v?是船B相对于船A的速度,从船B作一条平行于v?方向的直线BC,它不与船A相交,这表明两船不会相碰.
由A作BC垂线AC,其长度rmin就是两船相靠最近的距离 rmin?Rsin? 作FDsin??vBsin??vAsin?22v??vA?vB?2vAvBcos(???)rmin??vvBsin??vAsin?v?v?2vAvBcos(???)2A2BRtrA?(vAtcos?)i?(vBtsin?)jrB?(R?vBtcos?)i?(vBtsin?)jr?rB-rA?[R?(vBcos??vAcos?)t]i?[(vBsin??vAsin?)t]jr?[R?(vBcos??vAcos?)t]2?[(vBsin??vAsin?)t]2t?vBcos??vAcos?Rrmin?(vBcos??vAcos?)2?(vBsin??vAsin?)2dr(t)?0dtvBsin??vAsin?v?v?2vAvBcos(???)2A2BR若质点限于在平
面上运动，试指出符合下列条件的各应是什么样的运动？ （1）
drdrdvdvdada（2）（3）?0，?0；?0，?0；?0，?0
dtdtdtdtdtdt答: (1) 质点作圆周运动. (2) 质点作匀速率曲线运动. (3) 质点作抛体运动.
1-7. 一质点作斜抛运动，用t1代表落地时，.
（1）说明下面三个积分的意义：
t1t1xt1y?vdt,0?vdt,0?vdt.
0（2）用A和B代表抛出点和落地点位置，说明下面三个积分的意义：
BBB?dr,A?dr,A?dr.
At1 答: vxdt 表示物体落地时x方向的距离
0t1??v0t1ydt 表示物体落地时y方向的距离
?vdt 表示物体在t1时间内走过的几何路程.
0
B?dr 抛出点到落地点的位移
AB?dr 抛出点到落地点位移的大小A
B?dr 抛出点到落地点位移的大小A
