（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）若a?3，f(x)的图象与y轴交于点A，求y?f(x)在点A处的切线方程； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：当x?0时，f(x)?x2?3x?1恒成立．
21. （本小题13分）
x2y2?1过点P(2,1)． 已知椭圆C:2?2a（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求其离心率；
（Ⅱ）过点P作x轴的垂线l，设点A为第四象限内一点且在椭圆C上（点A不在直线l上），直线
设O为坐标原点，判断直线AB与直线OP的PA关于l的对称直线PB与椭圆交于另一点B．位置关系，并说明理由．
22.（本小题13分）
已知由n(n?N*)个正整数构成的集合A?{a1,a2,L,an}(a1?a2?L?an,n≥3)，
记SA?a1?a2?L?an，对于任意不大于SA的正整数m，均存在集合A的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m. （Ⅰ）求a1,a2的值；
（Ⅱ）求证：“a1,a2,?,an成等差数列”的充要条件是“SA?n(n?1)”； 2（Ⅲ）若SA?2020，求n的最小值，并指出n取最小值时an的最大值.
石景山区2020届第一学期高三期末
数学试卷答案及评分参考
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．
题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 B 5 B 6 D 7 A 8 C 9 D 10 C 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 11．?160； 12．1； 13． 5；
14．①③?② 或②③?①； 15. ?； 16. ①② ．
三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题13分） 解：（Ⅰ）因为 0???14?2，且sin??23， 5所以 cos??1?sin??所以 f????4. ……………2分 54?34?128131?=. ……………5分 ?????5?55?225250（Ⅱ）f?x??cosx?sinx?cosx??11?cosx?sinx?cos2x? 2211?cos2x1111?cos2x11? sin?sin22xx?????(sin(sin22xx??coscos22xx)) ?222222222 ……………8分 2sin(2x?????sin(2x?))24242π?π. ……………9分 所以函数f?x?的最小正周期T?2由2kπ?ππ3π?2x??2kπ+,k?Z， 242π5π?x?kπ+,k?Z. ……………11分 88??π5π?,kπ+?,k?Z. ……………13分 88?解得kπ?所以函数f?x?的单调递减区间?kπ?18. （本小题13分）
解：（Ⅰ）X可能的取值为0，1，2， 3. ……………1分
每次抛掷骰子，出现“6点”的概率为p?1. 61125175011P(X?0)?C3(1?)3??(1?)2?， P(X?1)?C3， 621666216
11151313P(X?2)?C32()2?(1?)?()?，P(X?3)?C3，
662166216 ……………5分
所以X的分布列为：
X P 0 125 2161 25 722 5 723 1 216
……………6分
（Ⅱ）设“第i盘游戏获得15分”为事件Ai(i＝1，2)，则
905?. ……………8分 2161295 所以“两盘游戏中至少有一次获得15分”的概率为1?P(A1)P(A2)?14495. ……………10分 因此，玩两盘游戏至少有一次获得15分的概率为144P(A1)?P(A2)?P(X?1)?P(X?2)?（Ⅲ）设每盘游戏得分为Y.
由（Ⅰ）知，Y的分布列为：
Y P ?12 15 120 12551 21612216125515?15??120???. ……12分 Y的数学期望为EY??12?2161221636这表明，获得分数Y的期望为负．
因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大． ……………13分
19.（本小题14分）
（Ⅰ）证明:因为△PAD是正三角形，O是AD的中点，所以 PO?AD. 又因为CD?平面PAD，PO?平面PAD，所以PO?CD. AD?CD?D，AD，CD?平面ABCD，
所以PO?面ABCD. ……………4分
（Ⅱ）如图，以O点为原点分别以OA、OG、OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标
系.
则O(0,0,0),A(2,0,0),B(2,4,0),C(?2,4,0),D(?2,0,0),G(0,4,0),P(0,0,23)，
E(?1,2,3),F(?1,0,3)，EF?(0,?2,0),EG?(1,2,?3)，
设平面EFG的法向量为m?(x,y,z),
zPEFDCGB???2y?0,???x?2y?3z?0,
令z?1，则 m?(3,0，1)， ……………6分 又平面ABCD的法向量n?(0,0,1)，……………7分 设平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为?， OAy1?. 所以cos??|m||n|2所以平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为
|m?n|xπ. ……………9分 3π， 6（Ⅲ）假设线段PA上存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角为
设PM??PA,??[0,1]，
GM?GP?PM?GP??PA，
所以GM?(2?,?4,23(1??)). ……………11分 所以sinπ3?|cos?GM,m??， …………13分
2624??6??7整理得2?2?3??2?0，无解，
所以，不存在这样的点M. ………14分
20.（本小题14分）
