第八节 函数的图像
[最新考纲] 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质，并运用函数的图像解简单的方程(不等式)问题．
1．利用描点法作函数的图像 方法步骤：(1)确定函数的定义域； (2)化简函数的解析式；
(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)； (4)描点连线．
2．利用图像变换法作函数的图像 (1)平移变换
(2)对称变换
关于x轴对称①y＝f(x)的图像――――――→y＝－f(x)的图像； 关于y轴对称②y＝f(x)的图像――――――→y＝f(－x)的图像； 关于原点对称③y＝f(x)的图像―――――――→y＝－f(－x)的图像；
关于直线y＝x对称x④y＝a(a＞0且a≠1)的图像――――――――→y＝logax(a＞0且a≠1)的图像． (3)伸缩变换 ①y＝f(x)的图像
a＞1，横坐标缩短为原来的，纵坐标不变
aa1
―――――――――――――――――――――――→y＝f(ax)的图像；
1
0＜a＜1，横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变②y＝f(x)的图像
―――――――――――――――――――――――→y＝af(x)的图像． 0＜a＜1，纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变
a＞1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变
(4)翻转变换
x轴下方部分翻折到上方
①y＝f(x)的图像―――――――――――→y＝|f(x)|的图像；
x轴及上方部分不变y轴右侧部分翻折到左侧
②y＝f(x)的图像――――――――――――――→y＝f(|x|)的图像．
原y轴左侧部分去掉，右侧不变
[常用结论]
1．关于对称的三个重要结论
(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图像关于直线x＝a对称．
(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图像关于点(a，b)中心对称． (3)若函数y＝f(x)的定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称．
2．函数图像平移变换八字方针
(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量． (2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值．
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝f(1－x)的图像，可由y＝f(－x)的图像向左平移1个单位得到．( ) (2)函数y＝f(x)的图像关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图像关于y轴对称．( )
(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(|x|)的图像与y＝|f(x)|的图像相同．( ) (4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图像关于直线x＝1对称．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 二、教材改编
1
1．函数f(x)＝－x的图像关于( )
xA．y轴对称 C．坐标原点对称
1
C [∵f(x)＝－x是奇函数，
B．直线y＝－x对称 D．直线y＝x对称
x∴图像关于原点对称．]
2．李明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．则与以上事件吻合最好的图像是( )
A B
C D
C [距学校的距离应逐渐减小，由于李明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，后段比前段下降得快．]
3．如图，函数f(x)的图像为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是________．
(－1,1] [在同一坐标系内作出y＝f(x)和y＝log2(x＋1)的图像(如图)．由图像知不等式的解集是(－1,1]．
]
考点1 作函数的图像
函数图像的常用画法
(1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图像的关键点，进而直接作出图像．
(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图像． (3)图像变换法：若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图像变换作出．
作出下列函数的图像：
?1?|x|
(1)y＝??；(2)y＝|log2(x＋1)|；
?2?
2x－12
(3)y＝；(4)y＝x－2|x|－1.
x－1
?1?x?1?x?1?x[解] (1)先作出y＝??的图像，保留y＝??图像中x≥0的部分，再作出y＝??的
?2??2??2??1?|x|
图像中x＞0部分关于y轴的对称部分，即得y＝??的图像，如图①实线部分．
?2?
① ②
(2)将函数y＝log2x的图像向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图像，如图②.
2x－111
(3)∵y＝＝2＋，故函数图像可由y＝图像向右平移1个单位，
x－1x－1x再向上平移2个单位得到，如图③.
③ ④
??x－2x－1，x≥0，
(4)∵y＝?2
?x＋2x－1，x＜0，?
2
且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图像，,再根据对称性作出(－∞，0)上的图像，得图像如图④.
(1)画函数的图像一定要注意定义域．(2)利用图像变换法时要注意变换顺序，
对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
考点2 函数图像的辨识,
辨析函数图像的入手点
(1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势． (3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性． (4)从函数的周期性，判断图像的循环往复． (5)从函数的特征点，排除不合要求的图像．
sin x＋x (1)(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝2在[－π，π]的图像大致为
cos x＋x( ),
