平面向量的概念及线性运算
一、知识巩固
1、 平面向量的概念：既有 ，又有 的量叫做向量（矢
量），例如力、速度、位移等．向量是用有向线段来表示的。有向线段的箭头表示向量的 ，有向线段的大小表示向量的有向线
????段的 ，即向量的模。例如AB的模表示为 2、相等向量：大小 方向 的两个向量叫相等向量 3、负向量：大小 方向 的两个向量叫负向量。
????例如：AB的负向量记为 4、零向量：大小为 的向量 5、单位向量：大小为 的向量
6、共线向量（平行向量）：方向大小为 的向量
7、模相等的两个平行向量如果方向相同为 向量，如果方向相反为 向量。
8、向量的加法法则：（1）三角形法则：首尾相连首尾连。
????????ABBC a＋b = ＋ =
B A a
a+bb
C
（2）平行四边形法则：同起点
???????????????? AB ＋ AD = AB ＋BC= D
A B C
图 7 － 9
9、向量的减法法则：减终指向被减终
????????如图7-9 AB-AD= 10向量的数乘运算：一般地，实数?与向量a的积是一个向量，记作?a，它
1
的模为|?a|?|?||a|
若|?a|?0，则当?＞0时，?a的方向与a的方向 ， 当?＜0时，?a的方向与a的方向 向量数乘运算满足如下的法则： ?1? 1a?a，??1?a??a ； ?2? ????a????a?????a?； ?3? ?????a??a??a；
?４? ??a?b???a??b． 11、向量共线的条件：对于非零向量a、b，当??0时，有 a∥b?a??b 二、试一试
1． 如图，?ABC中，D、E、F分别是三边的中点，试写出 （1）与???EF?相等的向量；（2）与???AD?共线的向量．
A F E D F A
O D
B E C
B C （第练1题图习题
（图第21题图－8）
2．如图，O点是正六边形ABCDEF的中心，试写出
（1）与???OC?相等的向量； （2）???OC?的负向量； （3）与???OC?共线的向量
3、填空（向量如图所示）： （1）a＋b =_____________ ,
2
（2）b＋c =_____________ , （3）a＋b＋c =_____________ ． 3．计算：
????????????????????????（1）AB＋BC＋CD=______________； （2）OB＋BC＋CA=______________．
????????????????????????（3）AB?AD=_______，（4）BC?BA=______，（5）OD?OA=______________．
三、精选例题
????????例1、 在平行四边形ABCD中，O为两对角线交点如图7－16，AB＝a ，AD????????＝b，试用a, b表示向量AO、OD．
????????????1????????1????分析 因为AO?AC,OD?BD，所以需要首先分别求出向量AC与BD.
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图7－16
例2、 计算：（1）3（a ?2 b）－2（2 a＋b）；
（2）3 a ?2（3 a ?4 b）＋3（a ?b）．
????????????????例3、计算（1）AB-AC+BD+DE
??????????????????（2）AM-AN+MG+GE
???????????????????（3）(AB-CD)-(AC-BD)
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四、作业
1、化简
????????????????????????（1）AB＋BC＋CD； （2）OB＋BC＋CA．
????????????????????????（3）AB-AC （4）AB+BA+AD+DC
????????????????????????（5）AB-AC-CD （6）AB-AC-BC
(7)3(a-2b+3c)-5(-2a+b+2c)
????????2、如图，在平行四边形ABCD中，设AB= a,AD= b，试用a, b表示向量????????????AC、BD、DB
????????12、设a, b不共线，求作有向线段OA，使OA＝
2（a＋b）
3、 一艘船以12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5 km/h，求该船的实际航行速度．
4、当a与 b共线时，如何画出a－b
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