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东北农业大学网络教育学院在职高升专期末测试题
23220007 高等数学
一、填空题(每题2分，共5题)
1. 函数
y?4?x2?1x1x?1的定义域是_[-2,1)Y(1,2]__
2. x?0lim(1?2x)=( e ) 23. 设函数4.
y?f(x)在点x可导，则函数g(x)?kf(x)（k是常数）在点x 可导 （可导、不可导）
。
y?x?ln(x?1)在区间 (?1,0) 内单调减少，在区间 (0,??) 内单调增加。
z?5.
1x?y?1x?y的定义域为
??x,y??x?y?x?；
二、单项选择题(每题4分，共5题)
1. 下列函数是初等函数的是（ B ）。 A.
y?sinx?3 B.y?sinx?1
x?1?1?x,y??x?1 D. ?x,x?0x?0?x2?1?y??x?1,??0,C.
sin2x2. x?0x （ B ）
limA. 1 B. 2 C. 0 D. ?1 3.
y?ln(2x?1)，则f?(1)=（ B ）
A . 0 B. 2 C. 1 D. 3 4. 若A.
F??x??f?x?，则d??f?x?dx??（ B ）
f?x? B. f?x?dx C. F?x? D. F?x?dx
5. 方程
y??2y?0的通解是（ C ）
y?4e2x C
A y?sinx B
y?ce2x D
y?ex
三、计算题(每题5分，共8题)
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1. 求函数
y?ln(1?x)?x?2的定义域
?1?x?0?解：?x?2?0??2?x?1
x2?xlim4x??x?3x2?12. x2?x解：lim4
x??x?3x2?11?1/x
x??x2?3?1/x2?0 ?limy?3. 求函数4. 求
1?cosx1?sinx的微分。
y?ln(x4?1)在??1,2?上的最大值与最小值。
4x3解：y??4，令y??0，求得驻点为x?0
x?1y(0)?0,y(?1)?ln2,y(2)?ln17
所以最大值是y(2)?ln17，最小值是y(0)?0
5. 判断广义积分
???0e?xx??dx的敛散性，若收敛，计算其值。
x??0解：
???0e?xxdx??02e?xd(x)??2e?|?2
33z?xy?yx?1 的一阶偏导数
4. 求函数
解：
?z?z?3x2y?y3,?x3?3xy2 ?x?y10?7. 改变二次积分
dy?yyf(x,y)dx的次序
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解：??dy?01eeyf(x,y)dx
8. 求微分方程cosxcosydx?sinxsinydy?0的解
解：分离变量得tanydy??cotxdx 两边积分得tanydy??cotxdx 从而y?arccos(Csinx)
??四、求解题(每题4分，共5题)
f(x)?1.
1f(x??x)?f(x)limx，求?x?0?x
11?f?x??x??f?x?11?limx??xx??lim??2 解：lim?x?0?x?0?x?0x?x??x??x?xx
?x?ln1?t2?y?t?arctant所确定的函数的二阶
2. 求由参数方程?解：
??dyd(t?arctant)t?? dx2d(ln(1?t2))23y?3x?x3. 求函数的单调区间
解:函数y?3x?x的定义域是???,???
23y??6x?3x2??3x(x?2),令y??0,求得驻点为x?0,x?2
x?(??,0),y??0,函数单调递减 x?(0,2),y??0,函数单调递增 x?(2,??),y??0,函数单调递减
22y?2xy?xy?2所围成的平面图形面积。
4. 求由曲线，与
解：求得交点(1,2),(?1,2)
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S?2?(y?02y828)dy?? 233
5. 一曲线通过点
(2,3)，它在两坐标轴间的任意切线线段均被切点所平分，求这条曲线。
解：设切线L与曲线切点为P=(x,y)，在x和y轴上交点分别为A和B，
因为P为AB的中点，所以A=(2x,0)，B=(0,2y)。 根据导数的几何意义（切线L的斜率），得到 dy/dx=(2y-0)/(0-2x)=-y/x. 分离变量 dy/y=-dx/x， 积分 lny=-lnx+lnC 得通解 y=C/x
将初始条件 x=2,y=3 代入，得 C=6， 所求曲线就是特解 y=6/x。
五、应用题(每题5分，共2题)
解：设圆锥体积为V，
1. 把一个圆形铁片，自中心处剪去中心角为?的一扇形后，围成一个无底圆锥，试将此圆锥体积表达成?的函数。
解：设圆锥体积为V，圆形铁片半径为R，则
R??R??222圆锥底面半径r?，高h?R?r?R???
2??2??12R3?2所以圆锥体积V??rh?324?2
2. 要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72cm，其底边成1:2的关系，问各边的长怎样，才能使表面积为最小.
324?2??2，??(0,2?)
解：设底边长为x,2x。高为h
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