第一章 解三角形
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8，则△ABC的形状是( ) A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
答案 B
解析 ∵最大边AC所对角为B，
2
2
2
又cos B＝5＋6－8
2×5×6＜0，∴B为钝角，△ABC为钝角三角形．
2．在△ABC中，sin A＝3
4，a＝10，则边长c的取值范围是( )
A．(15
2，＋∞)
B．(10，＋∞) C．(0,10) D．(0，40
3
]
答案 D
解析 ∵csin C＝asin A＝403，∴c＝4040
3sin C，∴0 . 3．在△ABC中，若a＝5 2 b，A＝2B，则cos B等于( ) A. 53 B.54 C.55 D.56 答案 B 解析 由正弦定理，得ab＝sin Asin B， ∴a＝5sin 2b可化为A5sin B＝2 . 又A＝2B，∴sin 2B5sin B＝2， ∴cos B＝ 54 . 4．已知△ABC的外接圆的半径是3，a＝3，则A等于( ) A．30°或150° B．30°或60° 1 C．60°或120° D．60°或150° 答案 A 解析 根据正弦定理，得 asin A＝2R，sin A＝a1 2R＝2 ， ∵0° 5．在△ABC中，已知cos Acos B>sin Asin B，则△ABC是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 答案 C 解析 由cos Acos B>sin Asin B， 得cos Acos B－sin Asin B＝cos(A＋B)>0， ∴0°＜A＋B＜90°，∴90°＜C＜180°，C为钝角． 6．在△ABC中，已知a＝5，b＝15，A＝30°，则c等于( ) A．25 B.5 C．25或5 D．以上都不对 答案 C 解析 ∵a2 ＝b2 ＋c2 －2bccos A， ∴5＝15＋c2－215×c× 32 ， 化简得c2 －35c＋10＝0，即(c－25)(c－5)＝0， ∴c＝25或c＝5. 7．已知△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝k∶(k＋1)∶2k，则k的取值范围是( A．(2，＋∞) B．(－∞，0) C．(－12 ，0) D．(1 2 ，＋∞) 答案 D 解析 由正弦定理， 得a＝mk，b＝m(k＋1)，c＝2mk(m>0)， ∵??? a＋b>c，?? a＋c>b， 即??? m2k＋1>2mk， ?? 3mk>mk＋1， ∴k>1 2 . 8．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为1 3 ，则其外接圆的直径为( ) ) 2 A. 92 92 2 B. 4 C.92 8 D．92 答案 B 解析 设另一条边为x， 则x2＝22＋32 －2×2×3×13， ∴x2 ＝9，∴x＝3. 设cos θ＝1 3，θ为长度为2,3的两边的夹角， 则sin θ＝1－cos2 θ＝ 22 3 . ∴2R＝3392 sin θ＝22＝4 . 3 9．在△ABC中，sin A＝sin B＋sin Ccos B＋cos C，则△ABC为( ) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形 答案 C 解析 由已知得cos B＋cos C＝sin B＋sin Csin A， 由正弦、余弦定理，得a2＋c2－b2a2＋b2－c2b2ac＋2ab＝＋ca， 即a2 (b＋c)－(b＋c)(b2 －bc＋c2 )＝bc(b＋c) ?a2 ＝b2 ＋c2 ， 故△ABC是直角三角形． 10．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则( A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形 B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形 C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形 D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形 答案 D 解析 △A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0， 则△A1B1C1是锐角三角形， ) 3 若△A2B2C2是锐角三角形， ?? 由?sin B＝cos B＝sin??sin C＝cos C＝sin sin A2＝cos A1＝sin 2 1 2 1 π －A1，2 π －B1，2 π －C1，2 ??π 得?B＝－B， 2π?C＝?2－C， A2＝－A1， 2 1 2 1 π2 π 那么A2＋B2＋C2＝，矛盾， 2 π 若△A2B2C2是直角三角形，不妨设A2＝， 2则cos A1＝sin A2＝1，A1＝0，矛盾． 所以△A2B2C2是钝角三角形． 11．在斜三角形ABC中，sin A＝－2cos B·cos C，且tan B·tan C＝1－2，则角A的值为( ) πA. 4πC. 2答案 A 解析 由题意知， sin A＝－2cos B·cos C＝sin(B＋C) ＝sin B·cos C＋cos B·sin C， 在等式－2cos B·cos C＝sin B·cos C＋cos B·sin C两边同除以cos B·cos C得tan B＋tan C＝－2， tan B＋tan C又tan(B＋C)＝＝－1＝－tan A， 1－tan Btan C即tan＝1，又0＜A＜π， π 所以角A＝. 4 12．在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中点，AM＝4，则BC等于( ) A.21 B.106 C.69 D.154 答案 B 解析 设BC＝a，则BM＝MC＝. 2在△ABM中， 4 πB. 3D.3π 4 a
