滚动小专题(八) 三角形的外心与内心
类型1 三角形外心
1．已知在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，则△ABC的外心在(D)
A．△ABC内 B．△ABC外 C．BC边中点 D．AC边中点 2．(2018·河北模拟)如图，每个小三角形都是正三角形，则△ABC的外心是(B)
A．D点 B．E点 C．F点 D．G点
3．如图，点O是正八边形ABCDEFGH的中心，则下列说法错误的是(C)
A．O是△CEF的外心 B．O是△CFG的外心 C．O是△OAC的外心 D．O是△CDE的外心
4．如图是10个相同的正六边形紧密排列在同一平面上的情形．根据图中各点的位置，判断O点是下列哪一个三角形的外心(C)
A．△ABD B．△BCD C．△ACD D．△ADE
5．某地有四个村庄E，F，G，H(其位置如图所示)，现拟建一个电视信号中转站，信号覆盖的范围是以发射台为圆心的圆形区域．为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小(圆形区域半径越小，所需功率越小)，此中转站应建在(C)
A．线段HF的中点处 B．△GHE的外心处 C．△HEF的外心处 D．△GEF的外心处
6．在△ABC中，O是它的外心，BC＝24 cm，O到BC的距离是5 cm，则△ABC的外接圆半径为(C)
A．11 cm B．12 cm C．13 cm D．14 cm
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，P的坐标分别为(1，0)，(2，5)，(4，2)．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为(7，4)或(6，5)或(1，4)．
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，AB＝AC，O为△ABC的外心，△OCP为等边三角形，OP与AC相交于点D，连接OA.
(1)求∠OAC的度数； (2)求∠AOP的度数．
解：(1)∵O为△ABC的外心， ∴AO垂直平分BC. ∵AB＝AC，
∴AO平分∠BAC. 1
∴∠OAC＝∠BAC＝35°.
2
(2)∵O为△ABC的外心， ∴AO＝CO.
∴∠OAC＝∠OCA＝35°.∴∠AOC＝110°. ∵△OCP为正三角形，∴∠POC＝60°. ∴∠AOP＝50°.
类型2 三角形内心
9．如图为5×5的网格图，点A，B，C，D，O均在格点上，则点O是(B)
A．△ACD的外心 B．△ABC的外心 C．△ACD的内心 D．△ABC的内心
10．如图，△ABC是等腰直角三角形，点D，E在BC上，△ADE是等边三角形．若点O是△ABC的内心，则下列说法正确的是(C)
A．点O是△ADE的内心 B．点O是△ADE的外心 C．点O不是△ABE的内心 D．点O是△ABC的外心
2
提示：易知OA平分∠BAC，由于OA不平分∠BAE，所以点O不是△ABE的内心．
11．如图，I点为△ABC的内心，D点在BC上，且ID⊥BC.若∠B＝44°，∠C＝56°，则∠AID的度数为(A)
A．174° B．176° C．178° D．180° 提示：连接CI，∠AID＝∠AIC＋∠CID＝112°＋62°＝174°.
12．如图，△ABC中，AB＝7 cm，AC＝8 cm，BC＝6 cm，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点E，F，则△CEF的周长为(A)
A．14 cm B．15 cm C．13 cm D．10.5 cm
提示：连接OA，OB.C△CEF＝CE＋CF＋EF＝CE＋EA＋CF＋FB＝CA＋CB＝14 cm.
13．如图，I是△ABC的内心，AI的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BI，BD，DC.下列说法中错误的一项是(D)
A．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合 B．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI重合 C．∠CAD绕点A顺时针旋转一定能与∠DAB重合 D．线段ID绕点I顺时针旋转一定能与线段IB重合
提示：根据I是△ABC的内心，得到AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，由角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI.根据三角形外角的性质得到∠DBI＝∠DIB，根据等腰三角形的性质得到BD＝DI.
14．(2018·娄底)如图，P是△ABC的内心，连接PA，PB，PC，△PAB，△PBC，△PAC的面积分别为S1，S2，S3.则S1＜S2＋S3.(填“＜”“＝”或“＞”)
3
15．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，在斜边AB上分别截取AD＝AC，BE＝BC，DE＝6，点O是△CDE的外心，则点O到△ABC的三边的距离之和是9．
提示：由题意知：点O是EC，CD垂直平分线的交点，∵AD＝AC，BE＝BC，∴EC的垂直平分线经过点B且平分11
∠B，CD的垂直平分线经过点A且平分∠A.∴点O是△ABC的内心．∵∠ACB＝90°，∴r＝(AC＋BC－AB)＝(AD＋
221
BE－AB)＝DE＝3.∴点O到△ABC的三边的距离之和是3r＝9.
2
16．三角形内角平分线的交点为三角形的内心．如图，D是△ABC的内心，E是△ABD的内心，F是△BDE的内心．若∠BFE的度数为整数，则∠BFE至少是113°．
17．已知I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D，连接BD.
(1)在图1中，求证：DB＝DI；
(2)如图2，若AB为直径，且OI⊥AD于点I，DE切圆于点D，求sin∠ADE的值．
解：(1)证明：连接BI. ∵I是△ABC的内心，
∴AD平分∠CAB，BI平分∠ABC. ∴∠CAD＝∠BAD，∠ABI＝∠CBI. ∵∠CAD＝∠DBC，∴∠DAB＝∠DBC. ∵∠DBI＝∠DBC＋∠CBI， ∠DIB＝∠DAB＋∠ABI， ∴∠DIB＝∠DBI.∴DB＝DI. (2)连接BD，DO.
∵AB为直径，∴∠ADB＝90°. ∵OI⊥AD，∴AD＝2DI. ∵BD＝DI，∴AD＝2BD.
∴AB＝AD＋BD＝5BD.
∵DE切圆于点D，∴∠ADE＋∠ADO＝90°.
4
22
又∵∠ADO＋∠ODB＝90°，∠ODB＝∠OBD， ∴∠ABD＝∠ADE.
AD2BD25
∴sin∠ADE＝sin∠ABD＝＝＝.
AB55BD
5
