取值范围．
第Ⅱ卷（附加题 共40分）
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选作两题，每小题10分，共20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 A．几何证明选讲
如图,△ABC中,AB=AC,AD是中线,P为AD上一点,CF∥AB，BP延长线交AC、CF于E、F,求证: PB=PE?PF。
B．矩阵与变换 已知矩阵M??2A图
?2a?，其中a?R，若点P(1,?2)在矩阵M的变换下得??21?到点P?(?4,0)，
（1）求实数a的值；
（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量。
C．参数方程与极坐标
??????已知?ABC的三顶点的极坐标分别为A5，，B5，，C?43，，判断三???????????3?62???角形ABC的形状，并求出它的面积。
D．不等式证明选讲 已知a?b?c?d，求证：
111a?b?b?c?c?a?9a?d
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22．（本题满分10分）某校数学趣味竞赛题目设置了难度不同的甲、乙两个系列，每个系列都有必答和抢答两个题目。比赛时每位选手自选一个系列完成，两个题目得分之和为该选手的成绩。假设每个选手完成每个系列的两个试题的得分是相互独立的。根据赛前训练的统计数据，某选手员完成甲系列和乙系列答题的情况如下表：
表1：甲系列 表2：乙系列
类型 得分 概率 必答题 100 80 3 41 4抢答题 40 0 3 41 4动作 得分 概率 必答题 90 50 9 101 10抢答题 20 0 9 101 10现该选手最后一个出场，之前其他选手的最高得分为115分
（1）若该选手希望获得该比赛的第一名，应选择哪个系列？说明理由，并求其获得第一名的概率
（2）若该选手选择乙系列，求其成绩?的分布列及其数学期望E?。 23．（本题满分10分）
（1）某班主任通知5位学生的家长（父亲和母亲共10人）来学校参加一小型座谈会，仅来了四位家长，求其中恰好有1位学生的父母都来的种数。 （2）用二项式定理证明：3
2n?2?8n?9能被64整除?n?N?
2018届数学模拟答案及解析
1.【答案】[?2,2)【解析】（1）若A??，则??a2?4?0，解得?2?a?2；（2）若1?A，则12?a?1?0，解得a??2，此时A?{1}，适合题意；（3）若2?A，则22?2a?1?0，
55解得a??，此时A?{2,}，不合题意；综上所述，实数m的取值范围为[?2,2)．
222．【答案】a?12【解析】f?(x)?3x?3a?[?3a,??)，∵对任意m?R，直线31. 3x?y?m?0都不是y?f(x)的切线，∴?1?[?3a,??)，?1??3a，实数a的
取值范围是a?3．【答案】
11???【解析】由三角函数线易知a?sin??cos????0,?>1,故由程序框
????25?2???1图可知输出sin??cos??1?sin??cos??1,由题意知sin??cos??1?11,即
5sin??cos??sin2??11.
2536,解之得6,两边平方整理可得:
1?2sin?cos??1?sin2??255????mx2y24．【答案】??1【解析】?a?b,?a?b?mx2?2(y2?4)?0,即
84mx2?2y2?8 , ∴轨迹C的方程为
mx2y2??1． 845．【答案】8000元【解析】由题意知，5天共捐款10×10＋(10×2)×(10＋5)＋(10×4)×(15＋5)＋(10×8)×(20＋5)＋(10×16)×(25＋5)＝8000(元)．因为二次函数只有在xy?ax2?bx?8000?0时函数值为8000,所以二次函数y?ax2?bx?8000的对称轴为y轴且
开口方向向下，其单调增区间为(??,0].
26．【答案】an?2?3n?1【解析】因为a1a3?a2 ，所以a2??6，又因为a1?a2?a3?20，所
以a2?6，故公比q?3 ，所以an?2?3n?1.
7．【答案】900【解析】设高一、高二、高三参赛的人数为4x、3x、2x，由(3x-2x)×5%＝5，∴x＝100，∴全校总共参赛的人数为900.
8．【答案】71【解析】因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：f4=1-(0.025+0.015*2+0.01+0.005)*10=0. 30.利用组中值估算抽样学员的平均分45·f1+55·f2+65·f3+75·f4+85·f5+95·f6＝45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71,所以估计这次考试的平均分是71分. 9．【答案】?【解析】因为sin2A?(3131cosB?sinB)(cosB?sinB)?sin2B 222233133??cos2B?sin2B?sin2B?,所以sinA??,又A为锐角,所以A?. 4442310．【答案】1??4【解析】由题意知，要使?APB,?CPD均为锐角，点P必须在分别以
AB、CD为直径的两个半圆之外。S正方形＝4R2,2S半圆＝?R2,S正方形－2S半圆＝(4-?)R2，
?p?4????1?。 44
