计算条件概率可选择两种方法之一：
（1） 在缩小后的样本空间SA中计算B发生的概率P(B|A).
（2） 在原样本空间S中，先计算P(AB),P(A)，再按公式P(B|A)=P(AB)P(A)计算，求得P(B|A). Example1.9 设某种动物有出生起活20岁以上的概率为80%，活25岁以上的概率为40%.如果现在有一个20岁的这种动物，问它能活25岁以上的概率？
Solution 设事件A={能活20岁以上}；事件B={能活25岁以上}。按题意，P(A)?0.8，由于B?A，因此
P(AB)?P(B)?0.4.由条件概率定义
P(B|A)?二、 乘法公式(Multiplication formula)
P(AB)0.4??0.5
P(A)0.8由条件概率的定义容易推得概率的乘法公式(Multiplication formula)：
P(AB)?P(A)P(BA)?P(B)P(AB).
利用这个公式可以计算积事件。乘法公式可以推广到n个事件的情形：若P(A1,A2,?,An)?0，则
P(A1?An)?P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)???P(AnA1?An?1)
Example1.10 在一批由90件正品，３件次品组成的产品中, 不放回接连抽取两件产品，问第一件取正品，第二
件取次品的概率。
Solution 设事件A={第一件取正品}；事件B={第二件取次品}。按题意，P(A)=式
903，P(B|A)=.由乘法公9392P(AB)?P(A)P(B|A)?三、全概率公式(Complete probability formula)
903??0.0315 9392为了计算复杂事件的概率，经常把一个复杂事件分解为若干个互不相容的简单事件的和，通过分别计算简单事件的概率，来求得复杂事件的概率。
全概率公式(Complete probability formula)：A1,A2,?,An为样本空间S的一个事件组，且满足： （1）A1,A2,?,An互不相容，且(2)A1?A2???An?S. 则对S中的任意一个事件B都有
P(Ai)?0(i?1,2,?,n);
P(B)?P(A1)P(BA1)?P(A2)P(BA2)???P(An)P(BAn)
Proof: 因为
B?BS?B(A1?A2???An)=BA1?BA2???BAn
由假设(BAi)(BAj)??,i?j，得到
P(B)?P(BA1)?P(BA2)???P(BAn)?
P(A1)P(BA1)?P(A2)P(BA2)???P(An)P(BAn)
Example1.11 七人轮流抓阄，抓一张参观票，问第二人抓到的概率？ Solution 设Ai={第i人抓到参观票}(i?1,2)，于是
P(A1)?161,P(A1)?,P(A2|A1)?0,P(A2|A1)? 776611??. 767由全概率公式 P(A2)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)?0?从这道题，我们可以看到，第一个人和第二个人抓到参观票的概率一样；事实上，每个人抓到的概率都一样。这就是“抓阄不分先后原理”。
Example 1.12 设有一仓库有一批产品，已知其中50%、30%、20%依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生产的次品率分别为
111,,，现从这批产品中任取一件，求取得正品的概率？ 101520Solution 以A1、A2、A3表示诸事件“取得的这箱产品是甲、乙、丙厂生产”；以B表示事件“取得的产品为正品”，于是：
P(A1)?53291419,P(A2)?,P(A3)?0,P(B|A1)?,P(B|A2)?,P(B|A3)?; 101010101520按全概率公式 ，有：P(B)?P(B|A1)P(A1)?P(B|A2)P(A2)?P(B|A3)P(A3)?
95143192??????0.92 101015102010四、 贝叶斯公式(Bayesian formula)
设B是样本空间S的一个事件，A1,A2,?,An为S的一个事件组，且满足： （1）A1,A2,?,An互不相容，且(2)A1?A2???An?S. 则
P(Ai)?0(i?1,2,?,n);
P(Ak)P(BAk)P(AkB)P(Ak|B)??
P(B)P(A1)P(BA1)???P(An)P(BAn)这个公式称为贝叶斯公式(Bayesian formula)，也称为后验公式。
Example 1.13 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“．”和“—”，由于通讯系统受到干扰，当发出信号“．”
时，收报台未必收到信号“.”，而是分别以0.8和0.2收到“．”和“—”；同样，发出“—”时分别以0.9和0.1收到“—”和“．” 。如果收报台收到“．”，问它没收错的概率？
Solution 设A={发报台发出信号“．”}，A={发报台发出信号“—”}，B＝｛收报台收到“．”｝，B＝｛收报台收到“—”｝；于是，P(A)?0.6，P(A)?0.4，P(B|A)?0.8，P(B|A)?0.2，P(B|A)?0.9，P(B|A)?0.1；按贝叶斯公式，有
P(A|B)?P(AB)P(A)P(B|A)0.6?0.8???0.5714
P(B)P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)0.6?0.8?0.4?0.9所以没收错的概率为0.5714.
Example 1.14 根据以往的记录，某种诊断肝炎的试验有如下效果：对肝炎病人的试验呈阳性的概率为0.95 ；非
肝炎病人的试验呈阴性的概率为0.95 .对自然人群进行普查的结果为：有千分之五的人患有肝炎。现有某人做此试验结果为阳性，问此人确有肝炎的概率为多少？
Solution 设A?{某人做此试验结果为阳性}，B?{某人确有肝炎}；由已知条件有，P(A|B)?0.95，
P(A|B)?0.95，P(B)?0.005；从而P(B)?1?P(B)?0.995，P(A|B)?1?P(A|B)?0.05；由贝叶斯公式，
有
P(B|A)?P(BA)P(B)P(A|B)??0.087 P(A)P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)本题的结果表明，虽然P(A|B)?0.95，P(A|B)?0.95，这两个概率都很高。但若将此实验用于普查，则有
P(B|A)?0.087，即其正确性只有8.7%.如果不注意到这一点，将会经常得出错误的诊断。这也说明，若将P(A|B)和P(B|A)搞混了会造成不良的后果。
§1.5 事件的独立性(Independence of Events)
一、 事件的独立性(Independence of events)
设A，B是两个事件，一般而言P(A)?P(A|B)，这表示事件B的发生对事件A的发生的概率有影响，只有当
P(A)?P(A|B)时才可以认为B的发生与否对A的发生毫无影响，这是就称两事件是独立的。这时，由条件概率可
知，
P(AB)?P(B)P(A|B)?P(B)P(A)?P(A)P(B)
由此，我们引出下面的定义。
Definition 1.3 若两事件A，B满足P(AB)?P(A)P(B),则称A，B相互独立(Mutual independence)。 (The events A，Bis called independent mutually if P(AB)?P(A)P(B).)
Theorem 1.1 若四对事件{A,B},{A,B},{A,B},{A,B}中有一对是相互独立的，则另外三对也是相互独立
的.(If there is one dual of the four events {A,B},{A,B},{A,B},{A,B}is independence, then the rest are also independence.)（证明留给学生）
在实际问题中，我们一般不用定义来判断两事件A，B是否相互独立，而是相反，从试验的具体条件以及试验的具体本质分析去判断它们有无关联，是否独立？如果独立，就可以用定义中的公式来计算积事件的概率了。
Example 1.15 两门高射炮彼此独立的射击一架敌机，设甲炮击中敌机的概率为0.9，乙炮击中敌机的概率为0.8，求敌机被击中的概率？
Solution 设A={甲炮击中敌机}，B={乙炮击中敌机}，那么{敌机被击中}=A?B；因为A与B相互独立，所以，有
P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?0.9?0.8?0.9?0.8?0.98
Note：事件的独立性与互斥是两码事，互斥性表示两个事件不能同时发生，而独立性则表示他们彼此不影响。 Definition 1.4 设A,B,C是三个事件，如果满足：
P(AB)?P(A)P(B),P(BC)?P(B)P(C),P(AC)?P(A)P(C)
则称这三个事件A,B,C是两两独立的。(Three events A,B,C are called independence between them if
P(AB)?P(A)P(B),P(BC)?P(B)P(C),P(AC)?P(A)P(C).)
Definition 1.5 设A,B,C是三个事件，如果满足：
P(AB)?P(A)P(B),P(BC)?P(B)P(C),P(AC)?P(A)P(C),P(ABC)?P(A)P(B)P(C)
则称这三个事件A,B,C是相互独立的。(Three events A,B,C are called independence each other if
P(AB)?P(A)P(B),P(BC)?P(B)P(C),P(AC)?P(A)P(C),P(ABC)?P(A)P(B)P(C).)
三个事件相互独立一定是两两独立的，但两两独立未必是相互独立。
Example 1.16 一产品的生产分4道工序完成，第一、二、三、四道工序生产的次品率分别为2%、3%、5%、3%，各道工序独立完成，求该产品的次品率？
Solution 设A={该产品是次品}，Ai={第i道工序生产出次品}，I=1,2,3,4,则
P(A)?1?P(A)?1?P(A1A2A3A4)?1?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)?
1?(1?0,02)(1?0.03)(1?0.05)(1?0.03)?0.124
事件的相互独立性概念可推广到多个事件的情形：
Definition 1.6 设A1,A2,?,An是n个事件,若对任意k(1?k?n)，对任意1?i1?i2???ik?n，都成立
P(Ai1Ai2?Aik)?P(Ai1)P(Ai2)?P(Aik)
则称事件A1,A2,?,An相互独立。(The events A1,A2,?,An are called independent each other if
P(Ai1Ai2?Aik)?P(Ai1)P(Ai2)?P(Aik) for any 1?i1?i2???ik?n.)
小结(Summary of Chapter One)
1. 本章介绍了随机事件与样本空间的概念，事件的关系与运算；给出了概率的统计定义，概率加法定理，条件概率与概率乘法定理，并介绍了全概率公式与逆概率公式，研究了事件的独立性问题，贝努里概型。
2. 古典概型是一种随机现象的数学模型，它要求所研究的样本空间是有限的，且各样本点的发生和出现是等可能的。计算古典概率必须要知道样本点的总数和事件Ａ所含的样本点数。在所考虑的样本空间中，对任何事件Ａ均有0?P(A)?1.古典概率的求法是灵活多样的，从不同的角度分析，可以构成不同的样本空间，解题的关键是确定什么是所需的样本点。
3. 统计概率是一种随机试验事件的概率，它不一定是古典概型。其特点是以事件出现次数的频率作为概率的近似值。
4. 事件的关系和运算和集合论的有关知识有着密切的联系。如事件的包含关系可以表示为集合的包含关系；事件的和、积相当于集合的并、交，事件的对立相当于集合的互补，学习时需要加以对照。
5. 为了讨论有关系的事件的概率，必须了解概率的加法定理、条件概率与概率乘法定理。在应用加法定理时首先要搞清楚所涉及的事件是否互斥（三个以上的事件是否两两互斥？）。使用概率的乘法公式时，首先要搞清楚所涉及的事件是否相互独立？条件概率与事件乘积的概率的联系由公式
P(AB)?P(A)P(B|A)表示。了解事件的独立性以及事件的互不相容性对于计算一些事件的概率可起简
化作用。
全概率公式 P(B)??P(Ai)P(B|Ai)中要求Ai(i?1,2,...,n)是互不相容的完备群。逆概率公式
i?1nP(Ai|B)?P(Ai)P(B|Ai)?P(A)P(B|A)iii?1n是求后验概率而得到的。它与全概率公式中求先验概率问题恰是对立的，但
彼此又有公式相联系。
