数学物理方法复习指导
第九章 定解问题的物理意义
1、理解波动方程、热传导方程、Poison方程和Laplace方程的物理意义, 根据物理问题写出其相应的方程(不需要推导方程)。
2、第一、第二类边界条件的物理意义。根据具体物理问题，掌握确定这两类边界条件的方法。
3、初始条件的意义及确定。
4、 重点掌握由具体的物理问题写出其相应的定解问题方法，即泛定方程和定解条件。
第十章 利用积分变换解无界问题
1、熟练掌握利用d'Alembert公式计算一维无界的齐次波动方程，理解其解的物理意义。
2、了解一维无界非齐次波动方程的通解形式及计算。
第十一章 一维有界问题的分离变量
1、理解分离变量法的基本概念：方法、条件、不同定解问题的通解形式。 2、熟练准确写出第一、第二类齐次边界条件的本征值和本征函数。 3、熟练掌握用分离变量法求解一维有界问题的解：1）分离变量得到的两个方程；2）由本征值问题确定相应的本征值和本征函数；3）确定关于T(t)方程的解（或者与其对应变量方程的解）；4）定解问题的通解；5）由定解条件确定待定系数（通过系数比较方法确定系数是一种重要的方法）。
4、熟练掌握利用本征函数展开解一维有界非齐次方程：1)对应齐次方程和齐次边界条件的本征函数的确定； 2)非齐次项和初始条件按本征函数的展开, 方程的解按本征函数的展开； 3)求解关于T(t)方程的解； 4)定解问题的解。 5、掌握非齐次边界条件的齐次化。
第十二章 球坐标的分离变量 Legendre多项式
1、了解波动方程、热传导方程的分离变量，Helmholtz 方程的导出和含时间变量满足的方程。
2、了解Helmholtz 方程在球坐标中分离变量得到的三个方程，Legendre方程。 3、Legendre方程的解，Legendre方程的本征值问题：
2?（?1?x)y''?2xy'?l(l?1)y?0x?1?y?有限（yx??1?有限)??x?1本征值：l(l?1)l?0，1，2，3，?
本征函数：y(x)?Pl(x)4、Legendre多项式的性质：
1) 重要的公式：Pl(1)?1,Pl(?x)?(?1)lP(x)
11P0(x)?1,P1(x)?x,P2(x)?(3x2?1),P3(x)?(5x2?3x)（要求记忆）
222) Legendre多项式的母函数
??1?x?11 ??Pl(x)rl
20?r?1l?01?2xr?r3) Legendre多项式的递推关系（不要求记忆）
(l?1)Pl?1(x)?(2l?1)xPl(x)?lPl?1(x)?0
(2l?1)Pl(x)?Pl'?1(x)?Pl'?1(x)
4) 掌握Legendre多项式的正交关系和广义 Fourier展开
12?lk 正交关系 ?Pl(x)Pk(x)dx??12l?1?2l?11C?f(x)Pl(x)dx f(x)??ClPl(x) l??12l?0亦可以利用系数比较法计算系数Cl。 5、熟练掌握稳态轴对称问题
1）首先根据具体物理问题写出相应的定解问题； 2）稳态轴对称问题的通解
2???u(r,?)?0定解问题 ?
u(r,?)?f(?)?r?a??Bu(r,?)??(Alrl?l?l1)Pl(cos?)
rl?03）稳态轴对称问题的特解：
a)根据定解问题的物理意义选择特解，球内问题和球外问题通解的系数Al和
Bl的取值 。 球内问题：Bl?0球外问题：Al?0
b）由边界条件u(r,?)r?a?f(?)，利用系数比较法确定特解的系数Al或者Bl。
第十三章 柱坐标的分离变量 Bessel函数
1、掌握波动方程、热传导方程的分离变量中含时间变量满足的方程，Helmholtz 方程在柱坐标中分离变量得到的三个方程以及各个参数的意义，Bessel方程。 2、周期性边界条件的本征值问题：
??\(?)?n2?(?)?01）本征值问题 ?
??(??2?)??(?)2）通解 ?n(?)??ein????1,e?i?,e?i2?,?,e?in?,??
?sinn??或者 ?n(?)??? n=0,1,2,3,…
cosn???
3）本征函数ein?的正交关系及按本征函数ein?的Fourier展开
????3、熟练掌握圆域Dirichlet问题的通解与特解
2???u(?,?)?0定解问题?
u(?,?)?f(?)???a?通解 u(?,?)??0??0ln???n???,n?0?(A?n?n?Bn??n)ein?
或 u(?,?)??0??0ln???(An?n?Bn??n)(Cnsinn??Dncosn?)
n?1特解：根据定解问题的物理意义选择通解的各项 圆内问题：?0?0,Bn?0
圆外问题：?0?0,An?0由边界条件，利用本征函数ein?的正交关系，确定特解的系数，亦可以利
??用系数比较法。
4、Bessel方程的解，R(?)满足的方程的本征值问题
??2R\(?)??R(?)?[k2?2?n2]R(?)?0??a?? ?R(?)??a?有限?R(?)??a?0??nxmnn本征值： km? （xm是n阶Bessel函数的第m个零点）
anxmn本征函数： R(?)?Jn(km?)?Jn(?)
a5、Bessel函数的性质（整数阶）
1）重要的公式：J?n(x)?(?1)nJn(x)
2）Bessel函数的母函数：ex1(t?)2t?n????J?n(x)tn
利用t的一些特殊值，证明一些等式。
3）n阶Bessel函数的递推公式（不要求记忆）
dn[xJn(x)]?xnJn?1(x)dx
d?n[xJn(x)]??x?nJn?1(x)dx应用 a)递推公式展开时的一些特例；
b)掌握公式在计算?xmJn(x)dx型积分时的应用。
4）Bessel函数的正交关系（了解）
nxmnn本征值km?和本征函数Jn(km?)(m?1,2,?)的意义，
an本征函数Jn(km?)(m?1,2,?,n,?)正交性 aa2nnn?J(k?)J(k?)d??Jn?1(xm)?lm ?0nmnl2n5）本征函数Jn(km?)(m?1,2,?)的广义 Fourier展开（了解）
??????nf(?)??CmJn(km?)
m?1??0a2nJn?1(xm)26、熟练掌握柱坐标系中的定解问题的求解 解题步骤和方法：
（1）根据物理问题写出定解问题；（2）分离变量得到相应的方程；（3）本征值问题：确定本征值和本征函数；（4）确定关于其余变量方程的解；（5）定解问题的通解；（6）由定解条件确定待定系数（了解）。
1）稳态问题：具有圆柱形边界，侧面具有第一类齐次边界条件，上、下底面具有轴对称边界条件的稳态问题的定解问题。
??2u(?,z)?0??a??（1） 定解问题 ?u??a?0
???uz?0?f1(?)uz?h?f2(?)（2） 分离变量 u(?,z)?R(?)Z(z)
Cm??d2Z(z)02?kZ(z)?0m?2?dz ?2dR(?)dR(?)22??2???k?R(?)?02?d?d??0xm0（3）本征值： km?
a0本征函数：J0(km?)(m?1,2,?)
1an?J(km?)f(?)d?
????（4） 关于Z(z)方程的解
00Zm(z)?Cmekmz?Dme?kmz?Amch(kmz)?Bmsh(kmz)
000（5）方程的通解： u(?,z)??[Amch(kmz)?Bmsh(kmz)]J0(km?)
m?1?002）波动问题或热传导问题：具有圆柱（圆）形边界，侧面具有第一类齐次边界条件，具有轴对称初始条件的波动问题的定解问题。
??222?2u(?,t)?a?u(?,t)?0?t??a) 波动问题 ?u??R?0??ut?0??(?)utt?0??(?)????R
?d2T(t)22?akmT(t)?0??dt2 ?2??2dR(?)??dR(?)?k2?2R(?)?0?d?d?2?0xm0本征值： km?
R0本征函数：J0(km?)(m?1,2,?)
????
00Tm(t)?Amcos(akmt)?Bmsin(akmt)
000u(?,t)??[Amcos(akmt)?Bmsin(akmt)]J0(km?)
m?1?
??u(?,t)2?D?u(?,t)?0??R??t??b) 热传导问题 ?u??R?0
??ut?0??(?)???dT(t)02?DkmT(t)?0?dt? ?2??2dR(?)??dR(?)?k2?2R(?)?0?d?d?2???
0xm本征值： k?
R0本征函数：J0(km?)(m?1,2,?)
0m??
Tm(t)?Ame?D(km)t
u(?,t)??Amem?1?02?D(km)t020J0(km?)
