模型与算法（思考题共4题）
思考题1 大小包装问题
题目：
在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象吗？比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1，试用比例方法构造模型解释这种现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。
（2）给出单位重量价格c与w的关系，并解释其实际意义。
Tips：决定商品价格的主要因素：生产成本、包装成本、其他成本。
47??1?4?C??w??w??；c????w?；c'???w3?2；c''??w3?23
w9w3w?2313?解：
（1）问题分析：
商品价格C随着商品重量w的增加而增加，由题可得二者并不是简单的线性关系。商品的价格C=成本D+利润P（其中，成本D包括生产成本Cs、包装成本Cb、其他成本Cq）。为得到商品价格C与商品重量w的关系，需要细化组成价格的成本及利润与商品重量的关系。
（2）模型假设：
1）包装的重量对商品来说可以忽略不计，即包装重量为零。
2）生产单位重量的商品投入的劳动力无差别，即单位重量的商品生产成本相同。 3）不同重量大小的包装的材料（厚度质量）无差别，即包装成本只与使用材料的多少相关。
4）不同重量的商品形状一致，即S?w 5）每件商品都有固定的其他成本为q。
6）商品的利润与商品的重量呈线性相关关系。 （3）模型建立：
根据模型假设得： 1）生产成本Cs?a1w
2）包装成本Cb?a2S?a2a3w 3）利润P?a4w
4）商品价格C?P?Cs?Cb?Cq
2323C23?a4w?a1w?a2a3w?Cq
??w??w??
其中：
23a1、a2、a3、a4——单位重量生产成本、单位面积包装成本、S:w的比值、单位重
量的利润
S、w——商品包装面积、商品重量 ??(a4?a1)、??a2a3、??Cq
23且a1、a2、a3、a4、S、w、?、?、??0
（4）模型求解与检验分析：
1）经模型建立，得商品价格C与重量w的关系表达如下：
C?P?Cs?Cb?Cq??w??w??
不是简单的线性关系，随着商品重量的增加商品价格也随之增加，但并非成比例增加。 2）单位重量价格c与商品重量w的关系为：
1?C?w??w???c??????w3?
www7??4??2?0，c''??w3?23?0即单位重量价格c随之商品重量w9w23234?1由c'???w33w的提高而减小，减小速度随商品重量的增加而变缓慢。
可得，当商品重量较轻时，商品包装成本及其他成本对价格影响力大，当商品重量比较重时，包装成本及其他成本的影响力越来越小。当商品重量趋近于无穷时，单位重量价格趋近于?（单位生产成本+单位重量利润），符合实际情况。
思考题2 划艇比赛的成绩
题目：
赛艇是一种靠浆手划桨前进的小船，分单人艇、双人艇、四人艇、八人艇四种。各种艇虽大小不同，但形状相似。T.A.McMahon比较了各种赛艇1964—1970年四次2000m比赛的最好成绩(包括1964年和1968年两次奥运会和两次世界锦标赛)，见下表。建立数学模型解释比赛成绩与浆手数量之间的关系。
表1 比赛成绩与浆手数量之间的关系表 W(kg) 2000m成绩t(min) 艇长艇宽0 l/b 艇种 l(m) b(m) 1 2 3 4 平均 与n之比 单人 双人 四人 八人 7.16 6.87 6.33 5.87 7.25 6.92 6.42 5.92 7.28 6.95 6.48 5.82 7.17 6.77 6.13 5.73 7.21 6.88 6.32 5.84 7.93 9.76 11.75 18.28 0.293 0.356 0.574 0.610 27.0 27.4 21.0 30.0 16.3 13.6 18.1 14.7 解：
（1）问题分析：
1）受力分析：
浮力f浮前进方向阻力f动力F总重力G总
赛艇前进时受到的阻力主要是艇浸没部分与水之间的摩擦力，桨手提供动力克服阻力保持一定的速度前进。
2）阻力影响分析：
阻力的大小受到划艇速度、艇浸没部分与水的接触面积影响。人数越多，速度越快，单位阻力越大。又由于浮力f浮等于艇排水的质量，即赛艇和桨手总质量的增加会使艇浸没面积加大，从而增大阻力。因而水中阻力大小与赛艇的形状关系密切。
表1第7至10列可得桨手数n增加时，艇的尺寸l，b及赛艇重?0都随之增加，但比值l/b和?0/n变化不大。由题得赛艇大小不同但形状相似，因而假定l/b是常数，则可得到艇浸没面积与排水体积之间的关系。
3）建模目的：
建立数学模型解释比赛成绩与浆手数量之间的关系。由于赛艇加速是一个加速度减小的变加速运动，其过程较为复杂。注意到在实际比赛中桨手在极短的时间内使艇加速到最大速度，然后把这个速度保持到终点。因而可合理假设艇速在整个赛程中保持不变，使问题简化为建立桨手数量与艇速之间的关系。
此外还需对桨手体重、划桨功率、阻力与艇速的关系等方面做出简化且合理的假设，才能运用合适的物理定律建立需要的模型。 （2）模型假设：
1）各种艇的几何形状相同，l/b?C1；艇重与桨手数呈线性关系，?0/n?C2。 2）桨手的体重相同，为?；在比赛中每个桨手的划桨功率p保持不变，且p 与?成正比。
3）赛艇前进时受的阻力f只与赛艇浸没面积S以及划艇速度v相关。其中单位面积阻力f与v2成正比。
4）赛艇可看作长方体，浸没面积为S?S底+2（l?b）?h深=lb+2（l?b）?h深，排水质量等于浮力为f浮?S底h深?水g=lbh深?水g。
5）在赛艇前行过程中，赛艇及浆手作为整体，只受到动力F、阻力f、浮力f浮、总重力G总四个力。 （3）模型建立：
在赛艇匀速前进过程中，水平方向与竖直方向受力平衡可得以下方程式： 1）水平方向受力平衡： 动力功率P 动?np3阻力功率P，其中a1?阻?fv?fSv?Sa1vfv2为单位面积阻力与速度平方的比值。
浸没面积S?lb+2（l?b）?h深
?P阻 动?P?np?Sa1v3?a1?(lb+2（l?b）?h深)v3
2）竖直方向受力平衡 总重力G总?(?0+n?)g
浮力为f浮?S底h深?水g=lbh深?水g
（式1.1）
?G总?f浮
?(?0+n?)g=lbh深?水g，又?0/n?C2
化简得h深=?0+n?lb?水?n(C2+?)lb?水 （式1.2）
3）将式1.2带入式1.1得：
v?3npn(C2??)a1(lb+2（l?b）?lb?水)由l/b?C1，?0?b3，?0/n?C2，得b3/n?C3。
v?3npa1[C1(C3n)+232n(C1?1)(C2??)C1(C3n)?水 ?313]
npa1[C1C3+23132(C1?1)(C2??)23C1C3?水令C4?{pa1[C1C3+13]132(C1?1)(C2??)?19C1C3?水4）由上述推倒，得赛艇时间t?n 艇种（人数n） 2000m成绩t(min) 7.21 单人 6.88 双人 6.32 四人 5.84 八人 （4）模型求解与检验分析： 1）根据（3）模型建立中的推导，设：t??n987654321000.20.40.60.8?1913]}，得v?nC4，则v?n
1919m=n^(-1/9) t/m 1 0.93 0.86 0.79 ， 7.21 7.43 7.37 7.36 y = 7.334xR2 = 0.97711.2图1 赛艇成绩t与n^(-1/9)关系图 ?19 根据excel中利用最小二乘法得到的线性关系，得??7.335，即t?7.335n，相关 ? 0.9774拟合效果较好。 系数R22）结果检验与分析 m=n^(-1/9) t'(min)=αn^(-1/9) 实际成绩t(min) 绝对误差 相对误差 艇种 1.00 7.34 7.21 0.13 单人 1.73% 0.93 6.79 6.88 -0.09 双人 -1.29% 0.86 6.29 6.32 -0.03 四人 -0.51% 0.79 5.82 5.84 -0.02 八人 -0.31% 这个模型建立在一些不太精细的假设的基础上，因为我们只关心各种赛艇成绩与浆手人数的关系，所以数学工具只用到比例方法。用这种方法建模虽然不能得到关于艇速的完整的表达式，但是对于我们的建模目的来说已经足够了。
结果与实际数据吻合较好，有数据量过少的成分在里面。
思考题3 旅行商问题的数学模型
