对足彩中的数学问题之研究
中四班 李文娟 付亢亢 于晓晨 陈晓 徐丰 柯晨皓
指导教师 孙立群 方志
摘 要 足彩是预测十三场比赛结果的一种体育彩票。在指导教师的帮助下，我们从数学学科角度出发，对足彩中的相关问题作出解释，有助于人们对足彩的认识。在研究过程中，重点对投注方式中的“复式”投注之利弊关系进行了较为深入的探讨，得出的投注原则为彩民实际操作提供了参考依据。
关键词 足彩 投注 中奖
足球运动被誉为当今世界第一体育运动，四年一度的世界杯足球赛的竞争性与观赏性并不亚于奥运会。随着中国队去年成功冲出亚洲，走向世界，一股谈论足彩，购买足彩并中奖的热潮正在部分城市兴起（目前仅在全国12个省、市销售）。从数学视角分析，如何看待足球彩票，如何投注足彩才能提高中奖机会呢？为此我们聘请了数学教师为指导教师，大胆地作了一番研究、探索。
一、足彩简介
⒈是由购票人在比赛前的一周时间内预测每一轮指定的意甲九场和英超四场共计十三场比赛的胜平负结果。在每一轮次比赛中，每一场比赛的胜平负共有3种预测结果。“3”：主队胜，客队负；“1”：主队与客队平；“0”：主队负，客队胜。
⒉每注彩票2元，可选择随机投注、单式投注、复式投注进行购买。
⒊猜中全部十三场比赛的胜平负结果为一等奖，猜中其中十二场比赛的胜平负结果为二等奖。 ⒋返奖金额为销售当期彩票金额的50%，其中一、二等奖为当期总奖金额的各50%，如有若干人中同奖级，则奖金平分。
二、研究探索 ⒈中奖率
根据排列组合中的乘法原理，十三场比赛的所有可能情况为313种，而正确结果却只有一种，故中一等奖的概率为：
13131213??0.00000 ?006.000069432311??0.00000 ?108.00018。S1441同理，中二等奖的概率为： ⒉奖金的计算
据资料显示，在2001年某期的足彩销售中，共销售出340万注彩票，而十三场比赛结束后表明有25人中一等奖，有378人中二等奖，试计算中奖每人实得奖金多少元。
彩票收入共计340×2=680（万元），用于奖金发放680×50%=340（万元）。其中一、二等奖金各计170（万元），中一等奖的每人应得1700000÷25=68000（元），中二等奖的每人应得1700000÷378≈4497（元）。但依税法中的有关规定，彩票得奖金在1万元以上（含1万元）者需征收20%的个人收入调节税。因此，
中一等奖的每人实得68000×（1-20%）=54400（元），中二等奖的每人实得4497（元）。
⒊投注方式的选择
由于足球比赛是规律性很强的运动，随机投注会出现很多根本不可能的结果，既浪费了投资，又不可能中奖。而单式投注虽考虑到比赛双方的实力，但由于赛场上各种偶发因素，所以，猜中十二场或十三场比赛结果的可能性也不大。在指导教师的帮助下，经过分析我们认为应选择复式投注。所谓复式投注是指投注人对于某一场次的比赛成绩选择2种或3种的预测结果的投注方式。
⒋“复式”如何计算注数
如果有二场比赛猜2种结果，其余比赛只猜1种结果，那么就会形成2×1=4种不同的组合，为4注，需花8元钱。如果有一场比赛猜3种结果，三场比赛猜2种结果，其余比赛只猜1种结果，那么就形成31×23×19=24种不同的组合，需花48元钱。
⒌“全包”的情形
如果十三场比赛每场都猜3种结果，称为“全包”情形。“全包”肯定是能中一等奖的。根据乘法原理，“全包”需投313=1594323注，需花1594323×2=3188646（元）。表面上看，花3188646元实施“全包”，如能中500万大奖，扣除税，还能得400万，值得一投。但若大家都这么操作，得一等奖的人肯定多，一等奖金由很多人分，单注的封顶金500万元说不定被“稀释”成50万、5万、1万，用300多万元去搏50万、5万、1万值得吗？另外，投注“全包”会失去足彩应有的功能，从而演变成合法的“赌博”。
⒍“复式”的限制
依《足彩规则》，每一张投注单的投注数量不得超过1万注（2万元）。那么，猜3种或2种结果最多为几场？
假设猜3种结果为n场，要使n尽量大，则剩余的（13-n）场均应猜1种结果，因此，
2
11
3?1n(13?n)?104?3?10n4?n?4lg3?n?40.4771?8.384 , ?nmax?8,即猜3种结果的最多只能有八场。同理可得，猜2种结果的最多有十三场。 ⒎“复式”中注数与场数的关系
根据排列组合中的乘法原理，可以得到复式投注中的场数与注数的相互关系如下表所示。
选3个结果 注数 的场数 选2个 结果的场数 0 1 2 4 8 16 32 64 128 1 3 6 12 24 48 96 192 2 9 18 36 72 144 288 3 27 54 108 216 4 81 162 324 5 243 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 729 2187 6561 486 1458 4374 972 2916 8748 648 1944 5832 432 1296 3888 864 2592 7776 576 1728 5184 384 1152 3456 8 9 10 11 12 13 256 768 2304 6912
512 1536 4608 1024 3072 9216 2048 6144 4096 8192
由此不难发现，一张投注单最多可投9216注，即猜十场比赛2种结果，二场比赛3种结果，一场比赛1种结果，但需花9216×2=18432（元）。
三、得出结论
通过以上分析与研究可得，增加注数固然可以提高中奖率，但所需花的钱也在同步增加。在经济条件有限的情况下，我们认为，购买足彩应根据下列原则进行投注。①首先“锁定”自认为能猜准的几场比赛，这几场比赛只猜1种结果；②再“锁定”几场各占50%可能的比赛，这几场比赛猜2种结果；③最没把握的猜3种结果，即尽可能用少的投入产生多的效益。
顺便指出，由于影响足球比赛结果的因素很多，例如：天气、场地、裁判、球迷等，所以按照上述原则投注，也未必能中奖。我们希望广大彩民抱着平常心去购买足彩，以支持国家足球事业。另外，虽然我们以中学生的身份去研究足彩，但这并不意味着我们鼓励中学生去购买足彩，而仅是将数学知识运用于生活中的一次有益的尝试。不过通过研究至少使我们对足彩有了初步的认识，从而对足球运动为什么被誉为世界上第一运动有了更深的理解。另外，尽管足彩与中国国家足球队无关，但只要考虑到足彩，我们便情不自禁地联想到中国队在神奇的米卢教练率领下，实现了几代中国人的梦想。在此，我们衷心祝愿——中国队韩日世界杯一路走好。
最后，我们要感谢孙立群老师、方志老师，正是他们的帮助，才使我们的研究活动顺利进行，同时对投注站的工作人员一并表示感谢，由于他们的热情接待，使我们对足彩有了初步的了解。
