4． 设f(x,y)定义于闭矩形域S=[a,b]?[c,d].若f对y在[c,d]上处处连续，对x 在[a,b]上（且
关于y）为一致连续，证明f在S上处处连续。 5． 证明：若D?且是闭区间。 6． 设f(x,y)在集合G?
'''，而R是有界闭域，f为D上连续函数，则f(D)不仅有界（定理16.8）
22R上对x连续，对y满足利普希茨条件：
f(x,y)?f(x,y)?Ly?y，其中（x,y）,(x,y)?G,L为常数，试证明f在G上
'''’’’
处处连续。
7． 若一元函数?(x)在[a,b]上连续，令f(x,y)=?(x)，（x,y）?D?[a,b]?(??,?).试讨论f在D 上是否连续，是否一致连续？ 8． 设
f(x,y)=
1,(x,y)?D?[0,1)?[0,1)， 1?xy证明f在D上连续但不一致连续。
9． 设f在R2上连续，且limf(x,y)?A,r?r???（2）fxy.证明（1）f在R上有界；
2?22
在R2上一致连续。
10．设f在R2上分别对每一个自变量x和y是连续的，并且每当固定x时对y是单调的，证明f是R2上的二元连续函数。
总练习题 1． 设E?d(E)为E的直径，证明：存在PP?E,使得?(P,P)?d(E)。 R是有界闭集，
1,2
2122． 设f(x,y)=
1，xyr=
xy,k?1,D2?21???(x,y)|x?y?kx??,D2??(x,y)|x?0,y?0?. 1k??r???(x,y)?D 试分别讨论 i =1,2时极限limf(x,y)是否存在？为什么？ 3． 设lim?(y)?A,lim?(x)?0,且在（
y?y0x?x0x,y)附近有
00f(x,y)??(y)??(x).证明(x,y)?(limf(x,y)?A.
,)x0y04． 设f为定义在R2上的连续函数，?是任一实数，
E?(x,y)|f(x,y)??,(x,y)?R,F?(x,y)|f(x,y)??,(x,y)?R,
?2??2?证明E是开集，F是闭集。
5． 设f在有界开集E上一致连续，证明：
（1） 可将f连续延拓到E的边界。 （2） f在E上有界。
6． 设???(x,y)与???(x,y)在xy平面中的点集E上一致连续；?与?把点集E映射
为??平面中的点集D，f(?，?)在D上一致连续，证明复合函数f[?(x,y),?(x,y)]在E上一致连续。
7． 设f(t)在区间(a,b)内连续可导，函数
f(x)?f(y) F(x,y)?(x?y),F(x,y)?x?yf'(x)
定义在区域D?(a,b)?(a,b)内，证明：对任何c?(a,b),有
(x,y)?(c,c)limF(x,y)?f'(c).
