2013年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)
理 数
本卷满分150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合M={x|(x-1)<4,x∈R},N={-1,0,1,2,3},则M∩N=( ) A.{0,1,2}
B.{-1,0,1,2}
C.{-1,0,2,3}
D.{0,1,2,3}
2
2.设复数z满足(1-i)z=2i,则z=( ) A.-1+I
B.-1-i
C.1+i
D.1-i
3.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( ) A.
B.-
C.
D.-
4.已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l?α,l?β,则( ) A.α∥β且l∥α
2
B.α⊥β且l⊥β
D.α与β相交,且交线平行于l
C.α与β相交,且交线垂直于l
5
5.已知(1+ax)(1+x)的展开式中x的系数为5,则a=( ) A.-4
B.-3
C.-2
D.-1
6.执行下面的程序框图,如果输入的N=10,那么输出的S=( )
A.1+ + +…+ C.1+ + +…+
B.1+ + +…+ D.1+ + +…+
7.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是
(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到的正视图可以为( )
8.设a=log36,b=log510,c=log714,则( ) A.c>b>a
B.b>c>a
C.a>c>b
D.a>b>c
,
z=2x+y的最小值为1,则a=( ) 9.已知a>0,x,y满足约束条件 ,若
( - ) A.
3
B.
2
C.1 D.2
10.已知函数f(x)=x+ax+bx+c,下列结论中错误的是( ) A.?x0∈R, f(x0)=0
B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形
C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)单调递减 D.若x0是f(x)的极值点,则f '(x0)=0
11.设抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为( ) A.y=4x或y=8x C.y=4x或y=16x
2
2
2
2
2
B.y=2x或y=8x D.y=2x或y=16x
2
2
22
12.已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是( ) A.(0,1)
B. -
,
C. -
,
D. ,
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
· = . 13.已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则
14.从n个正整数1,2,…,n中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为,则n= .
15.设θ为第二象限角,若tan =,则sin θ+cos θ= .
16.等差数列{an}的前n项和为Sn.已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为 . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcos C+csin B. (Ⅰ)求B;
(Ⅱ)若b=2,求△ABC面积的最大值.
18.(本小题满分12分)
如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点,AA1=AC=CB= AB. (Ⅰ)证明:BC1∥平面A1CD; (Ⅱ)求二面角D-A1C-E的正弦值.
19.(本小题满分12分)
经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1 t该产品获利润500元,未售出的产品,每1 t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如下图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品,以X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.
(Ⅰ)将T表示为X的函数;
(Ⅱ)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率;
(Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量X∈[100,110),则取X=105,且X=105的概率等于需求量落入[100,110)的频率),求T的数学期望.
20.(本小题满分12分)
平面直角坐标系xOy中,过椭圆M: + =1(a>b>0)右焦点的直线x+y- =0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为 . (Ⅰ)求M的方程;
(Ⅱ)C,D为M上两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.
