高等数学下册复习提纲（14）
第七章 微分方程
1. 可分离变量的微分方程的解法. 练习 1.求微分方程xdy?ydx的通解.
dy1?y2?2. . 求微分方程的通解 dxx3. 求微分方程y??xey的通解
2.一阶线性非齐次微分方程的通解公式
?p(x)dxp(x)dxy??p(x)y?q(x)的通解公式为y?e?(?q(x)e?dx?C)
练习 1.求微分方程2.求微分方程
dy?3y?2的通解. dxdyy??sinx的通解. dxx3. 常系数齐次线性微分方程y???py??qy?0的解法 练习 1.求微分方程y???2y??3y?0的通解.
2.求微分方程y???4y??4y?0的通解. 3.求微分方程y???4y??5y?0的通解
4. 常系数非齐次线性微分方程y???py??qy?f(x)的解法 （1） 会找y???py??qy?f(x)的特解
（2） 会求y???py??qy?f(x)的通解（y?Y?y*） 练习 1.写出微分方程y???2y??y?2ex的特解形式 2.写出微分方程y???4y?xcosx的特解形式. 3.求微分方程y???4y??5的通解. 5. 已知方程的解，求微分方程
练习：1.已知y1?e2x,y2?e?x为某个二阶常系数齐次微分方程的特解，
求此微分方程，并写出其通解.
2.已知y?sinx为某个二阶常系数齐次微分方程的特解，
1
求此微分方程，并写出其通解. 6. 利用解的结构求解微分方程
练习：已知y1?3,y2?3?x2,y3?3?x2?ex为某个二阶常系数非齐次微分方程的特解，求此微分方程的通解.
第八章 空间解析几何 1.会求向量?x,y,z?的方向余弦 cos?,cos?,cos?. 练习 1.由点P(1,0)到点Q(2,?1)的向量的方向余弦. 2.会求空间曲面或是立体在坐标面上的投影.
练习 1锥面z?x2?y2与平面z?1所围成的立体在xoy面上的投影. 2旋转抛物面z?x2?y2与平面z?1所围成的立体在xoy面上的投影. 3.会求平面方程和直线方程
练习 1. 过点(3,0,?1)且与平面3x?7y?5z?12?0垂直的直线方程.
xyz??垂直的平面方程. 123xyzx?1y?1z?1??3. 过点(1,0,?1)且与直线??，平行的平面方程.
123231 2. 过点(3,0,?1)且与直线
4. 求过点(1,0,?1)，且平行于a?(2,1,1),b?(1,?1,0)的平面方程. 4.会判定直线与平面之间的位置关系
5.利用平面束求直线在平面上的投影直线
第九章 多元函数的微分法及其应用 1.会求偏导数和全微分dz
练习 1. 设z?u2?v2，而u?x?y、v?x?y，求:
?z?z、． ?x?y 2. 设z?u2lnv，而u??zx?z、v?3x?2y，求:、．
?x?yy 3. 设z?yx求:
?z?z、，和dz. ?x?y2.会求隐函数的偏导数
练习 设函数z?f(x,y)是由方程x2?y2?z2?14所确定，求
2
?z?z,. ?x?y3.会求含有抽象函数的隐函数的导数
练习 已知方程xy?yz?xz?f(x?y?z)，求4.会求空间曲线的切线和法平面
?x?t?练习 1. 求曲线?y?t2在t?1处的切线方程和法平面方程.
?z?t3??x?t?2. 求曲线?y?t2在哪点处的切线与平面x?2y?z?4平行.
?z?t3??z?z,. ?x?y5.会求曲面的切平面和法线方程
练习 求曲面x2?y2?2z在(1,1,2)处的切平面方程和法线方程. 6. 理解多元函数连续、可微、偏导数存在三者之间的关系. 7. 会求方向导数和梯度 理解两者之间的关系
练习 函数z?x2?y2在点P(1,2)处沿P(1,2)到点Q(2,2?3)的方向的方向导数,并求gradf(1,2)，在P(1,2)处的最大方向导数 8. 理解多元函数取得极值的必要条件和充分条件 9. 会用拉氏函数法求条件极值
第十章 重积分
1. 理解二重积分的几何意义: 2. 会求??d??
Ddv? ????3. 会在直角坐标系下用投影穿线法求二重积分
练习 1.计算二重积分??xyd?,其中D是抛物线y?x与直线y?0,x?1所围成的.
Dx212. 计算二重积分??2d?,其中D是直线y?x与直线y?,x?2所围成的区域．
xyD4. 会交换积分次序 1112练习 1 交换积分次序 4 dy y f ( x f ( y ) dx ,y)dx??1dy?2x,??0yy. 41x2
2.交换积分次序?dx?f(x,y)dy0x
3
5.会在极坐标系下求二重积分 练习 1.设D为x2?y2?R2，求??exD2?y2d?
2.设D为x2?y2?2Rx，则??x2?y2d?
D3. 设D为x2?y2?2Ry，则??x2?y2d?
D3.设D为x2?y2?R2，则??(x2?y2)d?
D5. 会在直角坐标系下用投影穿线法求三重积分 练习 课本P162 例1
6.会用截面法或是柱面坐标法求三重积分
练习 1.计算三重积分???zdv其中?是锥面z?x2?y2与平面z?1所围成的
?立体．
2.计算三重积分???(x2?y2)dv其中?是旋转抛物面z?x2?y2与平面z?4所
?围成的立体．
7.理解球面坐标下求三重积分
练习 1.计算三重积分???(x2?y2?z2)dv，其中?是球面x2?y2?z2?1所围成
?的立体．
2. 计算三重积分???(x2?y2?z2)dv，其中?是球面x2?y2?z2?z所围成的立
?体．
8．利用对称性和奇偶性计算重积分 练习：1.x2?y2?a2??(x?2?x?y?3)dxdy
2.???(x?y?z)dv，其中?是抛物面z?x2?y2与平面z?1所围成的
第十一章 线面积分 1. 会求?ds?
L练习 课本P193 3 (1)(2)
2. 会用格林公式求第二类曲线积分 练习 课本P217 7
3. 理解曲线积分与路径无关的等价条件，会求?4. 会用高斯公式求曲面积分 练习 课本P239 1
第十二章 级数 1. 会判定正项级数的敛散性
4
(x1,y1)(x0,y0)Pdx?Qdy
练习 课本 P272 4
2. 会判定绝对收敛，条件收敛 练习 课本 P272 5
3. 会求幂级数的的和函数及收敛域
xn练习 1. 求幂级数?的和函数s(x)并指出其收敛域.
n?1n?2. 求幂级数?nxn?1的和函数s(x)并指出其收敛域.
n?1?3. 课本 P281 2
x2x3x4xnn4. 计算?????(?1)??(|x|?1)
2?13?24?3(n?1)?nn 5. 设幂级数 ?anx, 当n?1时an?2?n (n?1) an，且a0?4, a1?1;
n?0?（1）求幂级数?anx的和函数S(x)； （2）求和函数S(x)的极值.
nn?0?4. 会把函数展成幂级数
1xn?1?x???xn??(?1?x?1) ?? 熟记 e?1?x???1?xn!x练习 课本 P287 例5 P290 5、6
将f(x)?1展成x的幂级数 2(2?x)xt20将f(x)??edt展成x的幂级数
?1?2x(?1)n将函数f(x)?arctan展开成x的幂级数，并求级数?的和.
1?2xn?02n?15.会求傅里叶级数的和函数（收敛定理）
5
