18.2.3 正方形
01 基础题
知识点1 正方形的性质
1．(郴州中考)平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是( ) A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等
D．对角线互相垂直平分且相等
2．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有( ) A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
3．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，则此正方形的面积为( ) A．32 B．12 C．18 D．36
4．(凉山中考)如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( ) A．14 B．15 C．16 D．17
5．如图，有一?ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD＝35°，∠AEF＝15°，则∠B的度数为( ) A．50° B．55° C．70° D．75°
6．如图，在正方形ABCD中，以AB为边在正方形内作等边△ABE，连接DE，CE，则∠CED的度数为____________．
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7．已知：如图所示，E是正方形ABCD边BC延长线一点，若EC＝AC，AE交CD于点F，求∠AFC的度数．
知识点2 正方形的判定
8．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )
A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AD＝BC D．BC＝CD
9．两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是( ) A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
10．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是____________．
02 中档题
11．在正方形ABCD中，AB＝12，对角线AC，BD相交于点O，则△ABO的周长是( ) A．12＋122 B．2＋62 C．12＋2 D．24＋62
12．(株洲中考)已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是( ) A．①② B．②③ C．①③ D．②④
13．(上海中考)如图，已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE＝AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD＝____________度．
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14．如图，正方形ABCD的面积为5，正方形BEFG面积为4，那么△GCE的面积是____________．
15．(青岛中考)如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为____________．
16．已知，如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB和AD延长线上的点，且BE＝DF. (1)求证：CE＝CF；
(2)求∠CEF的度数．
17．(南京中考)如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD.垂足分别为M，N. (1)求证：∠ADB＝∠CDB；
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(2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．
03 综合题
18．(牡丹江中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE. (1)求证：CE＝AD；
(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
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参考答案
1．A 2.C 3.C 4.C 5.C 6.150°
7．∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠ACD＝45°，∠BCD＝∠DCE＝90°.∴∠ACE＝135°.∵EC＝AC，∴∠E＝22.5°.∴∠AFC＝90°＋22.5°＝112.5°.
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8．D 9.D 10.AC＝BD或AB⊥BC 11.A 12.B 13.22.5 14.5－2 15. 2
DC＝BC，??
16．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DC＝BC，∠B＝∠ADC＝90°.在△CDF和△CBE中，?∠CDF＝∠B＝90°，
??DF＝BE，∴△CDF≌△CBE.∴CF＝CE.
(2)∵△CDF≌△CBE，∴∠DCF＝∠BCE.∴∠ECF＝∠DCB＝90°.∵CF＝CE，∴∠CEF＝45°.
17．证明：(1)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.又∵BA＝BC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD.∴∠ADB＝∠CDB.
(2)∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°.又∵∠ADC＝90°，∴四边形MPND是矩形．∵∠ADB＝∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN.∴四边形MPND是正方形．
18．(1)证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB.∴AC∥DE.又∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形．∴CE＝AD.
(2)四边形BECD是菱形．理由：∵D为AB中点，∴AD＝BD.又由(1)得CE＝AD，∴BD＝CE.又∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形．∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝BD.∴四边形BECD是菱形． (3)当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°.∴AC＝BC.∵D为BA中点，∴CD⊥AB.∴∠CDB＝90°.∵四边形BECD是菱形，∴四边形BECD是正方形，即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．
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