2015-2016学年下期高三尖子生专题训练
数学试卷
试卷满分：150分 考试时间：120分钟
第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1?2i（i为虚数单位），则z的共轭复数是 iA.?2?i B.2?i C.2?i D.?2?i
112.已知命题p：“a?b?0”是“?”成立的必要不充分条件；命题q：若函数y?f(x?1)ab1.若z?为偶函数，则函数y?f(x)的图象关于直线x?1对称，则下列命题为真命题的是 （A）p?q （B）p?q （C）?p?q （D）p??q 3.已知数列{an}满足log3an?1?log3an?1(n?N*)，且a2?a4?a6?9，则log1(a5?a7?a9)＝
311 （A）? （B）5 （C）－5 （D） 55x?14.函数f(x)?a?2(a?0,a?1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx?ny?1?0上，
其中m?0,n?0，则12?的最小值为 mnA．4 B．5 C．6 D．3?22 5.设等差数列{an}的前n项和为Sn，a1?0且当 Sn取最大值时，n的值为
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 6．执行如图所示的程序框图，输出的结果是
A．56 B．36 C．54 D．64
7.已知?ABC外接圆的圆心为O，AB?23，AC?22，
a69?， a511ABMOCA为钝角，M是BC边的中点，则AM?AO?
A．3 B．4 C． 5 D．6 8.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边长，a?23，tanA?BCA?tan?4，sinBsinC?cos2. 则b? 222 （A）3 （B）2 （C）22 （D）23 高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识！
x2y29.已知F1，F2分别是双曲线2?2?1（a?0，b?0）的两个焦点，A和B是以O（O是平ab面直角坐标系的原点）为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线的左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为
（A）3 （B）5 （C）5 2（D）1?3 ?10.设f(x)?ex(ax2?x?1)，且曲线y?f(x)在x?1处的切线与x轴平行，且对???[0，]，2|f(cos?)?f(sin?)|≤b恒成立，则b的最小值为 （A）e?1 （B）e （C）1 （D）2
11.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，则该零件的表面积为（单位：cm2）
12. 已知函数f(x)满足f(x)?f(2?x)?2，当x?(0,1]时， f(x)?x，当x?(?1,0]时，
2（A）272?95?9 （B）272?185 （C）92?95?27 （D）36?95?182
f(x)?2?2，若定义在(?1,3)上的函数g(x)?f(x)?t(x?1)有三个不同的零点，
f(x?1)1212D. (0,6?27)
则实数t的取值范围是
A. (0,] B. [,??) C. (0,6?27)
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．
13.已知 ?1?x??2?x??a0?a1(x?1)?a2(x?1)2?...?a7(x?1)7，则a3?_______. ?x≥1?14.设不等式组?x－2y?3≥0所表示的平面区域是?1，平面区域?2与?1关于直线
?y≥x?63x?4y?9?0对称．对于?1中的任意点A与?2中的任意点B，|AB|的最小值为
____________
15．在正三棱锥S—ABC中，AB＝2，M是SC的中点，AM⊥SB，则正三棱锥S－ABC外接球的球心到平面ABC的距离为____________．
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16．已知数列{an}的前n项和为Sn，S1＝1，S2＝－
则an＝___________
31，且Sn－Sn－2＝3×(－)n－1（n≥3），22三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17．（本小题满分12分） 已知函数f(x)?2sinxcosx?23cos2x?3. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调减区间；
(2) 已知?ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c，其中a?7，若锐角A满足
f(133A?，求?ABC的面积. ?)?3，且sinB?sinC?142618．（本小题满分12分）
随着智能手机等电子产品的普及，“低头族”正成为现代社会的一个流行词．在路上、在餐厅里、在公交车上，随处可见低头玩手机的人，这种“低头族现象”冲击了人们面对面交流的温情，也对人们的健康构成一定的影响．为此，某报社发起一项专题调查，记者随机采访了M名市民，得到这M名市民每人在一天内低头玩手机的时间（单位：小时），根据此数据作出频数的统计表和频率分布直方图如下： 分组 频数 频率 [0，0.5） 4 0.10 [0.5，1） m p [1，1.5） 10 n [1.5，2） 6 0.15 [2，2.5） 4 0.10 [2.5，3） 2 0.05 合计 M 1 （Ⅰ）求出表中的M，p及图中a的值；
（Ⅱ）试估计这M名市民在一天内低头玩手机的平均时间（同一组的数据用该组的中间值作代表）；
（Ⅲ）在所取样本中，从一天内低头玩手机的时间不少于2小时的市民中任取2人，求两人在一天内低头玩手机的时间都在区间[2，2.5）内的概率． 19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中， ∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°．
（1）求证：平面PBC⊥平面PAC；
（2）若PA=1，AB=2，BC=，在直线AC上是否存在一点D，使得直线BD与平面PBC所成角为30°？若存在，求出CD的长；若不存在，说明理由．
x2y220. （本小题满分12分） 椭圆2?2?1(a?b?0)的左右焦点分别为F1，F2,且离心率
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为
1?,点P为椭圆上一动点，?F1PF2内切圆面积的最大值为. 23(1)求椭圆的方程;
(2) 设椭圆的左顶点为A1,过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A,B两点，连结A1A, A1B并延长交直线x?4分别于P，Q两点，以PQ为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是,请说明理由.
21、（本小题满分12分） 已知函数f?x??(x?6x?3x?t)e,t?R
32x（1）若函数y?f?x?依次在x?a,x?b,x?c(a?b?c)处取得极值，求t的取值范围； （2）若存在实数t??0,2?，对任意的x??1,m?，不等式f?x??x恒成立，求正整数m的最大值。
请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22、（本小题满分10分） 选修4-1 几何证明选讲 如图，AC是圆O的切线，A是切点，AD?OE于D，割线EC交圆O于B、C两点。
（1）证明：O,D,B,C四点共圆；
（2）设?DBC?50,?ODC?30，求?OEC的大小。 23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
????x＝2＋tcos?在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l：? （t为参数）与曲线C：
??y＝3＋tsin??x＝2cos?（θ为参数）相交于不同的两点A，B． ?y＝sin??（Ⅰ）若α＝?3，求线段AB中点M的坐标：
2
（Ⅱ）若｜PA｜·｜PB｜＝｜OP｜，其中P（2，3），求直线l的斜率． 24. （本小题满分10分）【选修4-5，不等式选讲】
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