(2) 输出过程Y(t)的均方值。
4Ω 1/8 F 1/3Ω 1/6 F X(t)
Y(t)
8. 证明均值为零、自相关函数为RX(?)??2?(?)的白噪声X(t)通过一个理想积分器后输
出方程Y(t)??t0X(u)du的均方值为?2t。
9. 在习题5所示的RC电路中，设输入过程X(t)的自相关函数为
RX(?)??2e
???，??0
2求输出过程Y(t)的功率谱密度函数SY(?)，自相关函数RY(?)和均方值?Y。
10. 假设某线性系统如图所示，试用频域分析方法求出： (1) 系统的传输函数；
(2) 当输入是谱密度为S0的白噪声时。输出Z(t)的均方值。
(提示：利用积分
??0sin2ax?dx?a) x22Y(t) tX(t) 延迟T 11. 随机过程Y(t)满足微分方程
? ? ? ???Y(?)d? Z(t)
Y??(t)?3Y?(t)?2Y(t)?X(t)
其中对于任意t，X(t)都为白噪声，其自相关函数RX(?)?K?(?)。证明Y(t)的自相关函数RY(?)满足方程
??(?)?3RY?(?)?2RY(?)?0，??0 RY?(0)?0。 其中，初始条件为RY(0)?K12，RY12. 如下图所示系统中输入X(t)同时作用于两个系统
(1) 求输出Y1(t)和Y2(t)的互谱密度SYY(?)； 12(2) 设X(t)是零均值的具有单位谱高的白噪声，若要使Y1(t)和Y2(t)为不相关过程，
h1(?)和h2(?)应满足什么条件？
H1(j?) X(t) Y1(t)
H2(j?) 13. 如下图所示系统中，若已知
Y2(t)
h1(t)?e?atU(t)，a?0
并已知输入W(t)是均值为零，谱密度为N02的高斯白噪声，求输出过程Y(t)的一维概率密度pY(y)。
W(t) X(t) h1(t) ? ? Y(t) ? 延时T
随机信号分析习题六
1. 分别求下列信号的希尔伯特变换
(1) s1(t)?sin?0t。 (2) s2(t)?cos?0t。
2. 试求下列信号的解析信号及复数包络：
(1) 指数衰落正弦波
X(t)?Ae?atcos[?0t??(t)]
(2) 调幅波
X(t)?(1?Acos?t)cos?0t,???0
(3) 线性调制波
b??X(t)?Acos??0t?t2?,b??0
2??3. 设低频信号a(t)的频谱为
?A(?),????2 A(?)??0,others?证明当?0???2时，有
H[a(t)cos?0t]?a(t)sin?0tH[a(t)sin?0t]??a(t)cos?0t4. 试证：
(1) 偶函数的希尔伯特变换为奇函数； (2) 奇函数的希尔伯特变换为偶函数。 5. 试证：
(1) H[ej?0t
]??jej?0t；
1； ?t(2) H[?(t)]??(t)为x(t)的希尔伯特变换，证明： 6. 设x?(t)在范围???t???内的功率相等，即 (1) x(t)和x1limT??2T
1x(t)dt?lim??TT??2TT2?T?T?2(t)dt x?(t)是正交的，即 (2) 在范围???t???内，x(t)和x1T??2Tlim?T?T?(t)dt?0。 x(t)x?(t)为X(t)的解析信号： 7. 证明下式成立，其中X(t)为平稳随机过程，X?(1) Rx?(?)?2[Rx(?)?jRx(?)]； ?(t)X?(t??)]?0 (2) E[X8. 一个线性系统输入为X(t)时，相应的输出为Y(t)。证明若该系统的输入为X(t)的希
?(t)，则相应的输出Y(t)的希尔伯特变换为Y?(t)。 尔伯特变换X9. 证明若加到系统H(j?)?2U(?)的输入为X(t)，则相应的输出为对应于X(t)的解析
信号，即
?(t) Z(t)?X(t)?jX10. 设谱密度为
N0的零均值高斯白噪声通过一个理想带通滤波器，此滤波器的增益为1，2中心频率为fc，带宽为2B。试求滤波器输出端的窄带过程X(t)及其同相和正交分量的自相关函数RX(?)、Rc(?)、Rs(?)。
11. 设窄带过程X(t)的功率谱SX(?)如图所示，试求：
(1) X(t)的同相和正交分量的功率谱密度。 (2) 互谱密度Ssc(?)。
SX(?) 4 -7 -5 -4 0 4 5 7 ?
12. 设如图所示系统的输入是谱密度为
N0?在(0,2?)上服从的零均值高斯白噪声X(t)，
2均匀分布，且与X(t)统计独立。其中两个滤波器的通带分别为(?B,B)和
(f0,f0?2B),(?f0?2B,?f0)。
(1) 求输出过程Y(t)的功率谱密度SY(f)。 (2) 求Y(t)的方差。
X(t) 带通H1(f) ?Y(t) 低通H2(f) cos(2?f0t??) 13. 零均值平稳窄带噪声Y(t)具有对称功率谱，其相关函数为RY(?)?A(?)cos?0?，求正
2交和同相分量的相关函数Rc(?)、Rs(?)和方差?c、?s2，并求互相关函数Rsc(?)、
Rcs(?)。
