第二十八章 锐角三角函数
一、目标与要求
1.探索直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系。 2.掌握300、450、600等特殊角的三角函数值。
3.掌握三角函数定义式：sinA=
baab，cosA?，tanA=，cotA=。 ccba会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值会求它的对应的锐角。 4.运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题。
5.理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；初步感受高等数学中的微积分思想。
6.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力。
7.能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题。
二、知识框架
三、重点、难点
（1）锐角三角函数的概念和直角三角形的解法，特殊角的三角函数值也很重要，应该牢牢记住。 （2）能够运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题。 （3）锐角三角函数的概念。
（4）经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，锻炼学生观察、分析，解决问题的能力。
四、中考所占分数及题型分布
本章会出1道选择，1道简答题，本章约占8-10分。
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 a2?b2?c2 例. 在锐角不变的情况下，我们过它的一边上一些点分别向另一边作垂线，垂足分别为C1、C2、C3……得到Rt△AB1C1、和Rt△AB2C2，
Rt△AB3C3 ，它们之间有什么关系？
∵一组直角三角形在一个锐角相等时，它们彼此相似。 ∴Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3 即
B1C1B2C2B3C3??， AB1AB2AB3也就是说，当锐角A的度数一定时，无论这个三角形大小如何，∠A的对边于斜边的比都是一个固定值。
在直角三角形中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA。
同理可知，
锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA。 锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA。
2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：
正弦 余弦 正切 定 义 表达式 asinA? cbcosA? catanA? b取值范围 关 系 ?A的对边 sinA?斜边?A的邻边 cosA?斜边?A的对边 tanA??A的邻边0?sinA?1 (∠A为锐角) sinA?cosB cosA?sinB sin2A?cos2A?1 tanA?cotB cotA?tanB tanA?1(倒数) cotA0?cosA?1 (∠A为锐角) tanA?0 (∠A为锐角) 余切 ?A的邻边 cotA??A的对边bcotA? acotA?0 (∠A为锐角) tanA?cotA?1 例. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值．
解：如图（1）：∵AC=5，BC=3， ∴AB?34，∴sinA?BC334?， AB34BC334?， AB34sinA?如图（2）：∵AC?1，BA?5，∴BC=2，
∴sinA?AC5BC25??，sinB? AB5AB5例. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，AC=5，求sinA，cosA，tanA的值。 解：在Rt△ABC中，∠C=90°， 由勾股定理得：AB=13， ∴sinA?BC12AC5BC12?，cosA??，tanA?? AB13AB13AC53、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值
三角函数 0° 0 10 不存在 30° 1 245° 222260° 3 21 290° 1 0不存在 0sin? cos? 3 23 3tan? cot?
例.求下列各式的值。
1 1 3 3 33 （1）sin300﹒cos300+cos600﹒tan600 （2）3tan300+tan450-2tan450+2sin600
0?1?（3）?????2016??9?2sin300
?2??1解：（1）原式=
13133???3? 2224（2）原式= 3?31?1?2?1?2??3 32（3）原式= 2?1?3?2?1?1 228.2 解直角三角形及其应用
28.2.1 解直角三角形
例．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？ （1）三边之间关系：
a2 +b2 =c2 (勾股定理)
（2）锐角之间关系：∠A+∠B=90°． （3）边角之间关系
A
B c a C b ababsinA?;cosA?;tanA?;cotA?
ccbababasinB?;cosB?;tanB?;cotB?
ccab利用这些关系，知道其中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余三个未知元素。 例. 如图，在△ABC中，?C?900，AC=5cm，?BAC的平分线交BC于D, AD?BC。
解：∵在△ABC中，?C?900，AC=5cm，AD为?A的平分线， AD?103cm，求?B，AB，3103， 3?cos?CAD?53， ?21033??CAD?300，??BAC?600， ??B?900?600?300，
则AB?5?2?10cm,BC?5?53cm 0tan30例. 一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，试求CD的长．
解：过点B作BM⊥FD于点M．
在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10 ∴∠ABC=30° ∴AB=20，
在直角三角形BAC中，由勾股定理得BC=10∵AB∥CF ∴∠BCM=30°
