最大最全最精的教育资源网 www.xsjjyw.com （3）延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，则AH⊥BH，由△AGD≌△BGC，得出∠GAD=∠GBC，再求出∠AGE=∠AHB=90°，得出∠AGE=∠AGB=45°，求出由△AGD∽△EGF，即可得出
的值．
，
解答： （1）证明：∵GE是AB的垂直平分线， ∴GA=GB， 同理：GD=GC，
在△AGD和△BGC中，
，
∴△AGD≌△BGC（SAS）， ∴AD=BC；
（2）证明：∵∠AGD=∠BGC， ∴∠AGB=∠DGC， 在△AGB和△DGC中，∴△AGB∽△DGC， ∴
，
，
又∵∠AGE=∠DGF， ∴∠AGD=∠EGF， ∴△AGD∽△EGF；
（3）解：延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，如图所示： 则AH⊥BH，
∵△AGD≌△BGC， ∴∠GAD=∠GBC，
在△GAM和△HBM中，∠GAD=∠GBC，∠GMA=∠HMB， ∴∠AGB=∠AHB=90°， ∴∠AGE=∠AGB=45°， ∴
，
又∵△AGD∽△EGF， ∴
=
=
．
新世纪教育网 最新、最全、最精的教育资源网 www.xsjjyw.com
最大最全最精的教育资源网 www.xsjjyw.com 点评： 本题是相似形综合题目，考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要通过作辅助线综合运用（1）（2）的结论和三角函数才能得出结果． 7．（2015?宜昌，第20题8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D为边CB上的一个动点（点D不与点B重合），过D作DO⊥AB，垂足为O，点B′在边AB上，且与点B关于直线DO对称，连接DB′，AD． （1）求证：△DOB∽△ACB；
（2）若AD平分∠CAB，求线段BD的长；
（3）当△AB′D为等腰三角形时，求线段BD的长．
考点：相似形综合题． 分析：（1）由∠DOB=∠ACB=90°，∠B=∠B，容易证明△DOB∽△ACB；
（2）先由勾股定理求出AB，由角平分线的性质得出DC=DO，再由HL证明
Rt△ACD≌Rt△AOD，得出AC=AO，设BD=x，则DC=DO=8﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（3）根据题意得出当△AB′D为等腰三角形时，AB′=DB′，由△DOB∽△ACB，得出
=，设BD=5x，则AB′=DB′=5x，BO=B′O=4x，由AB′+B′O+BO=AB，得出
方程，解方程求出x，即可得出BD． 解答：（1）证明：∵DO⊥AB，
∴∠DOB=∠DOA=90°， ∴∠DOB=∠ACB=90°， 又∵∠B=∠B，
∴△DOB∽△ACB；
（2）解：∵∠ACB=90°，
∴AB=
=
=10，
∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DO⊥AB， ∴DC=DO，
在Rt△ACD和Rt△AOD中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AOD（HL）， ∴AC=AO=6，
设BD=x，则DC=DO=8﹣x，OB=AB﹣AO=4，
222
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：DO+OB=BD，
新世纪教育网 最新、最全、最精的教育资源网 www.xsjjyw.com
最大最全最精的教育资源网 www.xsjjyw.com 即（8﹣x）+4=x， 解得：x=5， ∴BD的长为5；
（3）解：∵点B′与点B关于直线DO对称， ∴∠B=∠OB′D，BO=B′O，BD=B′D， ∵∠B为锐角，
∴∠OB′D也为锐角， ∴∠AB′D为钝角，
∴当△AB′D为等腰三角形时，AB′=DB′， ∵△DOB∽△ACB， ∴
=
=，
222
设BD=5x，
则AB′=DB′=5x，BO=B′O=4x， ∵AB′+B′O+BO=AB， ∴5x+4x+4x=10， 解得：x=∴BD=
， ．
点评：本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的
判定与性质、角平分线的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要根据题意列出方程，解方程才能得出结果． 二. 8．（2015?湘潭，第22题6分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处． （1）求证：△BDE∽△BAC；
（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．
考点：相似三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题） ． 分析：（1）根据折叠的性质得出∠C=∠AED=90°，利用∠DEB=∠C，∠B=∠B证明三角形
相似即可； （2）由折叠的性质知CD=DE，AC=AE．根据题意在Rt△BDE中运用勾股定理求DE，进而得出AD即可． 解答：证明： （1）∵∠C=90°，△ACD沿AD折叠，
∴∠C=∠AED=90°， ∴∠DEB=∠C=90°，
新世纪教育网 最新、最全、最精的教育资源网 www.xsjjyw.com
