揭阳市2015年高中毕业班高考第一次模拟考试
数学(文科)
参考公式：棱锥的体积公式：V?1Sh．其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高． 3导数公式： 若f(x)?sin(x?1)，则f'(x)?cos(x?1)； 若f(x)?cos(x?1)，则f'(x)??sin(x?1)． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．
1．设集合A?{4,5,6,8},B?{3,5,7,8}，则AB中元素的个数为
A．5 B．6 C．7 D．8 2．已知复数z?(?8?7i)(?3i)，则z在复平面内对应的点位于
A．第一象限
B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．“a?b”是 “a2?b2”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4．双曲线x2y2a2?4a2?1(a?0)的离心率为 A.
5 B.
52 C.2 D. 3 5．已知a?(sin?,cos?),b?（-2,1），若a?b，则tan?的值为 A. ?2 B. 2 C.12 D. ?12 6．已知函数y?loga?0,a?1)的图象经过点(2,1ax(2)，则其反函数的解析式为
A. y?4x B.y?log4x C.y?2x D.
7．某单位200名职工的年龄分布情况如图1示，该单位为了
50岁以上 解职工每天的睡眠情况，按年龄用分层抽样方法从中抽取
20% 40名职工进行调查.则应从40-50岁的职工中抽取的人数为 30% 50% 40 岁以下 A.8 B.12 C.20 D.30 40 － 50 岁 ?5x?3y?158．不等式组?，?y?x+1，表示的平面区域的面积为 图1 ? ?x?5y?3.A. 14 B.5 C. 3 D. 7
9．设l,m是两条不同的直线，?,?是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是 A.若m//l,m//?,则l//?；
B.若m??,l?m,则l//?；
C.若?//?,l??,m//?,则l?m；
D.若m??,m//?,l??,l//?,则?//?.
1
y?(1)x2
10. 对任意的a、b?R，定义：min{a,b}=?则下列各式中恒成立的个数为
?a,(a?b)?a,(a?b)；max{a,b}=?.
?b.(a?b)?b.(a?b) ①min{a,b}?max{a,b}?a?b ②min{a,b}?max{a,b}?a?b
③(min{a,b})?(max{a,b})?a?b ④(min{a,b})?(max{a,b})?a?b A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11－13题）
11．不等式x?3x?10?0的解集为 ．
12．在△ABC中，?A、?B、?C的对边分别为a、b、c，若a?3，?B?2?A，cosA? 则b? ．
13．已知函数f(x)?x对应的曲线在点(ak,f(ak))(k?N?)处的切线与x轴的交点为(ak?1,0)，
326， 3f(3a1)?f(3a2)??f(3a10) 若a1?1，则? ．
2101?()3（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线?sin(??EAF?4)?2
BC 被圆?=4截得的弦长为 . 15．（几何证明选讲选做题）如图2，BE、CF分别为钝角
△ABC的两条高，已知AE?1,AB?3,CF?42,
则BC边的长为 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.(本小题满分12分)
已知函数f(x)?2sin(?x?)(??0,x?R)的最小正周期为?. （1）求?的值； （2）若f(?)?
2
图2
?6?2，??(0,)，求cos2?的值.
8317.(本小题满分12分)
图3是某市今年1月份前30天空气质量指数（AQI）的趋势图. AQI指数 200196 183159 160
126124134 120109120 93102979888 80697575706671 4546（）4036361621398478514849图3
日期
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30（1）根据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在图4中补全这些数据的频率分布直方图；
（2）当空气质量指数（AQI）小于100时，表示空气质量优良．某人随机选择当月（按30天计）某一天到达该市，根据以上信息，能否认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%？
（图中纵坐标1/300即
1，以此类推） 300图4
18．（本小题满分14分）
如图5，已知?BCD中，?BCD?90,BC?CD?1，
AB?6，AB⊥平面BCD，E、F分别是AC、AD的中点．
（1）求证：平面BEF⊥平面ABC；
（2）设平面BEF平面BCD?l，求证CD//l； （3）求四棱锥B-CDFE的体积V．
3
图5
19. (本小题满分14分)
已知Sn为数列?an?的前n项和，Sn?nan?3n(n?1)（n?N），且a2?12．
* （1）求a1的值； （2）求数列?an?的通项公式； （3）求证：
20. (本小题满分14分)
11??S1S2?11?． Sn3已知抛物线C：x2?2py(p?0)的焦点为F，点P是直线y?x与抛物线C在第一象限的交点，且
|PF|?5.（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线l:y?kx?m与抛物线C有唯一公共点M，且直线l与抛物线的准线交于点Q,试探究，在坐标平面内是否存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由.
21. (本小题满分14分)
已知函数f(x)?ax，g(x)?lnx，其中a?R．
（1）若函数F(x)?f(x)?g(x)，当a?1时，求函数F(x)的极值；
（2）若函数G(x)?f(sin(x?1))?g(x)在区间(0,1)上为减函数，求a的取值范围；
（3）证明：
?sink?1n1?ln(n?1)． k?14
