2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
2.3.3 平面向量的坐标运算
学习目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示(重点).2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则(重点).3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来(易错点)．
预习教材P94－97完成下面问题： 知识点1平面向量的坐标表示
1．平面向量的正交分解：把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量．
2．基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．
3．坐标：对于平面内的一个向量a，有且仅有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标．
4．坐标表示：a＝(x，y)．
5．特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)． 【预习评价】
思考 根据下图写出向量a，b，c，d的坐标，其中每个小正方形的边长是1．
答案 a＝(2,3)，b＝(－2,3)，c＝(－3，－2)，d＝(3，－3) 知识点2 平面向量的坐标运算
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表： 加法 减法 文字描述 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应符号表示 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) a－b＝(x1－x2，y1－y2) 坐标的差 数乘 重要 结论 【预习评价】
已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则2a－b＝________． 解析 2a－b＝2(2,4)－(－1,1)＝(5,7)． 答案 (5,7)
题型一 平面向量的坐标表示
【例1】 如图，在直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，→→
OA＝a，AB＝b.四边形OABC为平行四边形．
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点 的坐标减去起点 的坐标 λa＝(λx，λy) 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，→则AB＝(x2－x1，y2－y1)
(1)求向量a，b的坐标； →
(2)求向量BA的坐标； (3)求点B的坐标． 解 (1)作AM⊥x轴于点M， 则OM＝OA·cos 45°＝4×AM＝OA·sin 45°＝4×2
＝22， 2
2
＝22， 2
∴A(22，22)，故a＝(22，22)． ∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°， ∴∠COy＝30°.又OC＝AB＝3．
3333→→
－，3?，∴AB＝OC＝?－，3?， ∴C??22??22?
33
－，3?． 即b＝??22?33→→
，－3?． (2)BA＝－AB＝?2??2
33→→→
(3)OB＝OA＋AB＝(22，22)＋(－，3)
22333?＝?22－，22＋．
22??
333
∴点B的坐标为(22－，22＋)．
22规律方法 求点和向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．
(2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．
→
【训练1】 已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若MN＝－3a，则点N的坐标为( ) A．(2,0) C．(6,2)
B．(－3,6) D．(－2,0)
→
解析 MN＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)， →
设N(x，y)，则MN＝(x－5，y＋6)＝(－3,6)，
???x－5＝－3，?x＝2，所以?即?选A．
???y＋6＝6，?y＝0.
答案 A
题型二 平面向量的坐标运算
→→
【例2】 (1)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC＝(－4，－3)，则向量BC＝( ) A．(－7，－4) C．(－1,4)
B．(7,4) D．(1,4)
→
解析 设C(x，y)，则AC＝(x，y－1)＝(－4，－3)，即x＝－4，y＝－2，故C(－4， →
－2)，则BC＝(－7，－4)，故选A． 答案 A
→→→1→
(2)若A，B，C三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求AB＋2BC，BC－AC的
2
坐标．
→→→
解 因为AB＝(－2,10)，BC＝(－8,4)，AC＝(－10,14)， →→
所以AB＋2BC＝(－2,10)＋2(－8,4)＝(－18,18)，
1→1→
BC－AC＝(－8,4)－(－10,14)＝(－8,4)－(－5,7)＝(－3，－3)．
22规律方法 平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．
【训练2】 已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求下列向量的坐标： 11(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b．
23解 (1)2a＋3b＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a－3b＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)． 1112172(3)a－b＝(－，1)－(，)＝(－，). 2323363
考查 方向 方向1 由相等的向量求参数的值
【例3-1】 已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．
解析 ma＋nb＝(2m，m)＋(n，－2n)＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
题型三 平面向量坐标运算的应用 ???2m＋n＝9，?m＝2，即?解得? ?m－2n＝－8，???n＝5，
所以m－n＝－3． 答案 －3
方向2 向量运算与平面几何的综合应用
【例3-2】 已知平面上三点的坐标分别为A(－2,1)，B(－1,3)，C(3,4)，求点D的坐标，
使这四点构成平行四边形的四个顶点．
→→→→
解 当平行四边形为ABCD时，设D(x，y)，由AB＝(1,2)，DC＝(3－x,4－y)，且AB＝DC，得D(2,2)．
→→→→当平行四边形为ACDB时，设D(x，y)，由AB＝(1,2)，CD＝(x－3，y－4)，且AB＝CD，得D(4,6)．
→→→→
当平行四边形为ACBD时，设D(x，y)，由AC＝(5,3)，DB＝(－1－x,3－y)，且AC＝DB，得D(－6,0)，
故D点坐标为(2,2)或(4,6)或(－6,0)．
规律方法 坐标形式下向量相等的条件及其应用 (1)条件：相等向量的对应坐标相等．
(2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标．
→3→→4→→
【训练3】 已知A(2,4)，B(－4,6)，若AC＝AB，BD＝BA，则CD的坐标为________．
233
解析 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则(x1－2，y1－4)＝(－6,2)＝(－9,3)，则x1＝－7，y1
2＝7，
48
(x2＋4，y2－6)＝(6，－2)＝(8，－)，
331011→
∴x2＝4，y2＝，则CD＝(11，－)．
3311
答案 (11，－) 3
课堂达标
→
1．已知点A(－2,1)，B(3，－2)，则BA的坐标是( ) A．(－5,3) C．(－5，－3)
→
解析 BA＝(－2,1)－(3，－2)＝(－5,3)． 答案 A
B．(5，－3) D．(5,3)
